Question

∫ √( x² + 2x^4 ) dx

Answer 1

$I=\displaystyle\int{\sqrt{x^{2}+2x^{4}}\,dx}\\ \\ \\ =\int{\sqrt{x^{2}\cdot (1+2x^{2})}\,dx}\\ \\ \\ =\int{\sqrt{x^{2}}\cdot\sqrt{1+2x^{2}}\,dx}\\ \\ \\ =\int{|x|\cdot\sqrt{1+2x^{2}}\,dx}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


Como apareceu um módulo no integrando, e $x$ pode assumir qualquer valor real (o domínio do integrando é $\mathbb{R}$), a primitiva utilizada na integração vai depender do sinal que $x$ assume no intervalo de integração.


$\bullet\;\;$ Vamos avaliar a integral, sem o módulo:

$I_{1}=\displaystyle\int{x\cdot\sqrt{1+2x^{2}}\,dx}\;\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


A integral acima é simples de resolver. A solução é por substituição direta:

$1+2x^{2}=u\;\;\Rightarrow\;\;4x\,dx=du\;\;\Rightarrow\;\;x\,dx=\dfrac{1}{4}\,du$


Substituindo, a integral $I_{1}$ fica

$I_{1}=\displaystyle\int{\sqrt{u}\cdot \dfrac{1}{4}\,du}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{4}\int{u^{1/2}\,du}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{2}{3}\,u^{3/2}+C\\ \\ \\ =\dfrac{1}{6}\,(1+2x^{2})^{3/2}+C\;\;\;\;\;\;\mathbf{(iii)}$


$\bullet\;\;$ Voltando para a integral original, por $\mathbf{(i)}$ e $\mathbf{(ii)},$ concluímos que

$I=\left\{ \begin{array}{rl} I_{1}\,,&\text{se }x\geq 0\\ \\ -I_{1}\,,&\text{se }x<0 \end{array} \right.$


Portanto,

$\displaystyle\int{\sqrt{x^{2}+2x^{4}}\,dx}=\left\{ \begin{array}{rl} \dfrac{1}{6}\,(1+2x^{2})^{3/2}+C\,,&\text{se }x\geq 0\\ \\ -\dfrac{1}{6}\,(1+2x^{2})^{3/2}-C\,,&\text{se }x<0 \end{array} \right.$

sendo $C$ uma constante.


ATENÇÃO.: Caso for utilizar a primitiva acima para cálculo de integral definida, utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo, deve-se atentar ao sinal que $x$ assume no intervalo de integração e escolher a expressão conveniente. Talvez seja necessário até separar em duas integrais, quando o $0$ (zero) estiver no interior do intervalo de integração.