Question

x² = 2ˣ
Quantas soluções há para essa equação? E quais são elas?

Answer 1

Resposta: Esta equação exponencial tem um total de 3 respostas diferentes, sendo 2 soluções inteiras e uma aproximada.

Queremos encontrar a solução da seguinte equação exponencial:

$x^2=2^ x$

Esta equação exponencial pode parecer simples mas na realidade não é, para resolver esta equação devemos aplicar uma função não elementar conhecida como função W Lambert , em matemática, a função W Lambert , em homenagem a Johann Heinrich Lambert, embora também seja conhecida como a função Omega ou o produto logarítmico, é a função inversa de $f(w)=we^w$ onde $e^w$ é a função exponencial natural e w é qualquer número complexo. A função é definida por W.

A função W de Lambert nos permite encontrar soluções precisas de uma equação exponencial semelhante à que temos. Não vamos aplicar a função W Lambert, pois seria um método muito complexo de resolver e precisaríamos de um computador. Para resolver esta equação exponencial vamos aplicar um pequeno truque que é aplicar o logaritmo natural em ambos partes da equação.

$\ln{(x^2)}=\ln{(2^x)}\\\\\\ Aplicando ~as ~propriedades dos~ logaritmos~obtemos:~~ 2\ln{(x)}=x\ln{(2)}\qquad\rm{ (i)}\\\\\\ \dfrac{\ln{(x)}}{x} =\dfrac{\ln{(2)}}{2}$

Observe que os números dentro do logaritmo natural e os números no denominador são os mesmos, então nossa primeira solução é:

$\boxed{\sf x =2}$

Observe que há uma parte marcada com o numeral romano (i), esta parte está marcada com esse numeral romano, pois é uma parte muito importante para o problema, pois se multiplicarmos ambas as partes da equação pelo número 2 obtemos:

$2\cdot 2\ln{(x)}=2\cdot x\ln{(2)}\\\\\\4\ln{(x)}=x\ln{(4)}\\\\\\ \dfrac{\ln{(x)}}{x} =\dfrac{\ln{(4)}}{4}$

Observe novamente que os números que estão dentro do logaritmo natural e os números no denominador são os mesmos, isso significa que a segunda solução da equação é:

$\boxed{\sf x =4}$

Pensamos que estas são as duas únicas soluções da nossa equação exponencial, mas fazendo gráficos em algum software (geogebra) podemos ver que existe uma terceira solução para esta equação exponencial, podemos ver que esta terceira solução é igual a -0,7666648037437, esta solução não pode ser obtida por métodos convencionais, o mais próximo é obter a solução pelo método de Newton-Raphson.

As soluções para esta equação exponencial são:

$\sf x^2=2^x\begin{cases}\sf x_1= -0,7666648037437\\\\ \sf x_2=2\\\\ \sf x_3=4\end{cases}$