Question

x+y+z=6
4x+2y+3z=17
5x+3y+4z=23

Answer 1

x + y + z = 6
4x + 2y + 3z = 17
5x + 3y + 4z = 23

Observe que a terceira equação é a soma da primeira com a segunda:
x + 4x + y + 2y + z + 3z = 6 + 17 ⇒ 5x + 3y + 4z = 23

Então, pode ser resolvido considerando apenas as duas primeiras equações, obtendo o valor de x e y em função de z.

Vamos multiplicar a primeira equação por -4 para isolarmos a incógnita y:

x + y + z = 6  ·(-4) ⇒ -4x - 4y - 4z = - 24

Assim temos o sistema composto pela nova equação com a segunda:
-4x - 4y - 4z = - 24
4x + 2y + 3z = 17

Resolvendo por adição, teremos:

$-2y-z=-7\Rightarrow -2y=-7+z\Rightarrow 2y=7-z\Rightarrow y=\dfrac{7-z}{2}$


Substituindo o valor de y na primeira equação:

$x+y+z=6\ \Rightarrow\ x=6-y-z\Rightarrow x=6-\left(\dfrac{7-z}{2}\right)-z\Rightarrow\\ \\ \\ x=\dfrac{12-\left(7-z\right)-2z}{2}\Rightarrow x=\dfrac{12-7+z-2z}{2}\Rightarrow x=\dfrac{5-z}{2}$


Assim, a solução do sistema é:

$S=\left\{\left(\dfrac{5-z}{2},\dfrac{7-z}{2},z\right)\right\}$


Observe que o sistema é SPI – Sistema Possível e Indeterminado, ou seja, possui infinitas soluções. Desta forma, para qualquer valor de z, haverá um valor para x e y.

Exemplo:

Quando z = 10:

$x=\dfrac{5-z}{2}\Rightarrow x=\dfrac{5-10}{2}\Rightarrow x=\dfrac{-5}{2}\\ \\ \\ y=\dfrac{7-z}{2}\Rightarrow y=\dfrac{7-10}{2}\Rightarrow y=\dfrac{-3}{2}$


Teremos, portanto quando z = 10:

$S=\left\{\left(\dfrac{-5}{2},\dfrac{-3}{2},10\right)\right\}$


Observe que esses valores satisfazem todas as equações:

$x+y+z=6\Rightarrow -\dfrac{5}{2}+\left(-\dfrac{3}{2}\right)+10=6\Rightarrow -\dfrac{5}{2}-\dfrac{3}{2}+10=6\Rightarrow\\ \\ \\ \dfrac{-5-3}{2}+10=6\ \Rightarrow \dfrac{-8}{2}+10=6\ \Rightarrow -4+10=6\ \Rightarrow 6=6$

O mesmo ocorrerá com as demais equações.