Question

{X+y+3z=2
{3x-y-2z=1
{x+3y+z=-3

Answer 1

Olá

Temos um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas

$\begin{cases} x + y + 3z = 2~~(|)\\ 3x - y - 2z = 1~~(||)\\ x + 3y + z = -3~~(|||)\\ \end{cases}$

Podemos descobrir o valor das incógnitas de várias maneiras

Usemos o método de substituição

Isole uma das incógnitas na primeira equação

$x = 2 - y - 3z$

Substitua seu valor na segunda equação

$3\cdot(2 - y - 3z) - y - 2z = 1$

Aplique a multiplicação distribuitiva

$6 - 3y - 9z - y - 2z = 1$

Reduza os termos semelhantes

$6 - 4y - 11z = 1$

Isole uma das incógnitas nesta nova equação

$-4y = 1 - 6 + 11z$

Reduza os termos semelhantes

$-4y = -5 + 11z$

Multiplique ambos os termos por um fator (-1)

$-4y = -5 + 11z~~(-1)\\\\\\ 4y = 5 - 11z$

Divida ambos os termos pelo coeficiente de y

$\dfrac{4y}{4} = \dfrac{5-11z}{4}\\\\\\ y = \dfrac{5-11z}{4}$

Substitua o valor das incógnitas na terceira equação

$2 - \left(\dfrac{5-11z}{4}\right) - 3z+3\cdot\left(\dfrac{5-11z}{4}\right)+z = -3$

Simplifique as multiplicações

$2 - \dfrac{5-11z}{4} - 3z + \dfrac{15-33z}{4} + z = -3$

Reduza os termos semelhantes

$2-\dfrac{5-11z}{4} - 2z +\dfrac{15-33z}{4} = -3$

Simplifique a equação fracionária

$8 - (5 - 11z) - 8z + 15 - 33z = -12$

Simplfique a expressão interna aos parênteses

$8 - 5 + 11z - 8z - 33z + 15 = -12$

Reduza os termos semelhantes

$18 - 30z = -12$

Isole a incógnita e encontre seu valor unitário

$-30z = -30~~(-1)\\\\\\ 30z = 30\\\\\\ \dfrac{30z}{30}=\dfrac{30}{30}\\\\\\ z = 1$

Substitua o valor da incógnita na segunda incógnita isolada

$y = \dfrac{5-11z}{4}\\\\\\ y = \dfrac{5-11\cdot1}{4}\\\\\\ y= \dfrac{5-11}{4}\\\\\\ y = \dfrac{-6}{4}\\\\\\ y = \dfrac{-3}{2}$

Substitua o valor de ambas as incógnitas na primeira incógnita isolada

$x = 2 - y - 3z\\\\\\ x = 2 - \dfrac{-3}{2}-3\cdot1\\\\\\ x = 2 - \dfrac{-3}{2} - 3\\\\\\ -1-\dfrac{-3}{2}\\\\\\ x = \dfrac{-2-(-3)}{2}\\\\\\ x = \dfrac{-2+3}{2}\\\\\\ x = \dfrac{1}{2}$

Dessa forma, temos os valores das incógnitas

$\boxed{\boxed{\mathbf{(x,~y,~z)~~\rightarrow~~\left(\dfrac{1}{2},~\dfrac{-3}{2},~1\right)~|~(x,~y,~z)\in\mathbb{R}}}}$