Question

|x| + |x-1| + |x-2| ≥ 3

Answer 1

Neste tipo de inequação infelizmente não tem um jeito muito prático de resolver, vamos ter que testar cada intervalo positivo com cada intervalo negativo. Estando presente 3 módulos vamos ter que trabalhar 8 inequações menores para encontrar todos os intervalos que resolvem esta:

Resolvendo para +++

$x+x-1+x-2\geq 3$

$3x-3\geq 3$

$3x\geq 3+3$

$3x\geq 6$

$x\geq \frac{6}{3}$

$x\geq 2$

Resolvendo para ++-

$x+x-1-x+2\geq 3$

$x+1\geq 3$

$x\geq 3-1$

$x\geq 2$

Resolvendo para +-+

$x-x+1+x-2\geq 3$

$x-1\geq 3$

$x\geq 3+1$

$x\geq 4$

Resolvendo para -++

$-x+x-1+x-2\geq 3$

$2x-3\geq 3$

$2x\geq 3+3$

$2x\geq 6$

$x\geq \frac{6}{2}$

$x\geq 3$

Resolvendo para --+

$-x-x+1+x-2\geq 3$

$-x-1\geq 3$

$-x\geq 3+1$

$-x\geq 4$

$x\leq -4$

Resolvendo para -+-

$-x+x-1-x+2\geq 3$

$-x+1\geq 3$

$-x\geq 3-1$

$-x\geq 2$

$x\leq -2$

Resolvendo para +--

$x-x+1-x+2\geq 3$

$-x+3\geq 3$

$-x\geq 3-3$

$-x\geq 0$

$x\leq 0$

Resolvendo para ---

$-x-x+1-x+2\geq 3$

$-3x+3\geq 3$

$-3x\geq 3-3$

$-3x\geq 0$

$3x\leq 0$

$x\leq \frac{0}{3}$

$x\leq 0$

Finalmente temos todos os intervalos que resolvem esta inequação.

A solução então vai incluir o $x\geq 2$

Não vai precisar incluir nem o $x\geq 4$ nem o $x\geq 3$ pois estes já estão inclusos no intervalo $x\geq 2$

Vai incluir o $x\leq 0$

E não vai precisar incluir o $x\leq -4$ nem o $x\leq -2$ pois estes já estão inclusos no intervalo $x\leq 0$

Assim definimos a solução desta inequação como x ≤ 0 ou x ≥ 2