Question

X^(logaritmo de X na base 10) = X^4 / 1000

Eu cheguei a 10.√10, mas não tenho o gabarito e quero saber logo se acertei :P

Answer 1

Equação: $x^{log ~x} = \frac{ x^4}{1000}$

Primeiro, aplicando logaritmo em ambos os lados:
$x^{log ~x} = \frac{ x^4}{1000} \\ \\ log ~(x^{log ~x}) = log ~( \frac{x^4}{1000} )$

Agora, utilizando algumas propriedades logarítmicas para desenvolver a expressão:
$log ~(x^{log ~x}) = log ~( \frac{x^4}{1000} ) \\ \\ log ~x \cdot log ~x = log ~x^4 - log ~1000 \\ \\ log ~x \cdot log ~x= 4 \cdot log ~x - 3$

Atribuindo que log x é igual a k, teremos:
$log ~x \cdot log ~x= 4 \cdot log ~x - 3 \\ \\ k \cdot k = 4 \cdot k - 3 \\ \\ k^2-4k+3= 0$

Resolvendo essa equação do segundo grau utilizando fatoração:
$k^2-4k+3= 0 \\ \\ (k-3) \cdot (k-1)= 0 \\ \\ k-3= 0 ~~~~~~~~~~~~~~~~ k-1= 0 \\ \\ k'= 3 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ k'' = 1$

Voltando na nossa substituição:
$log ~x= k \\ \\ log ~x = 3 ~~~~~~~~~~~~~~~~ log ~x= 1 \\ \\ x= 10^3 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~ x= 10^1 \\ \\ \boxed{x= 1000 ~~~~~~~~~~~~~~~~ x = 10}$

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Algumas propriedades utilizadas:
$log ~x= log_{10} ~x \\ \\ log ~x^n= n \cdot log ~x \\ \\ log ~\frac{x}{y} = log ~x- log ~y \\ \\ log ~x = y ~~~ \to ~~~ 10^y= x$