Question

x ao cubo - 8x + 7 = 0

Answer 1

Resposta:

S = { 1 ;  $\frac{-1 +\sqrt{29} }{2}$  ;   $\frac{-1-\sqrt{29} }{2}$  }

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

Determinar as raízes da equação   x³ - 8x + 7 = 0

Resolução:

Existem vários métodos para resolver equações do 3º grau.

Sempre que possível encontrar uma raiz e baixar, no 1º membro, o

polinómio do 3º grau para 2º grau.

Neste caso facilmente se vê que x = 1 é uma raiz deste polinómio.

Verifiquemos  

se x = 1  

então  

1³ - 8* 1 + 7 = 0

1 - 8 + 7 = 0

8 - 8 = 0

0 = 0            verificado que  1  é raiz da equação

Usando a regra de Briot - Ruffini

Vou-lhe mostrar esta aplicação da regra de uma maneira mais bem

explicável do que possa já ter feito.

Vou colocar um esquema que tem 3 linhas

Na 1ª linha os coeficientes do 1º membro da equação.

Mas , preste atenção, que o polinómio tem de estar na forma completa.

1 * x³ + 0 * x²  - 8 * x   + 7  

que tem os seguintes coeficientes  :   1     0     - 8     7

Na 2 ª linha , ao lado esquerdo fica a raiz que se conhece " 1 "

Continuando nesta linha valores que resultam de operações que indicarei

mais para a frente.

Na 3ª linha vão ficar os coeficientes de um polinómio de um grau inferior

ao que usamos inicialmente.

No extremo direito da 3ª linha fica o resto da divisão de x³ - 8x + 7 por

( x - raiz conhecida )  ou seja ( x - 1 ) , que tem de dar zero.

1ª linha                         |    1        0       - 8      7    ← coeficientes do polinómio

2ª linha      raiz  →   1    |   vazio    b         c      d  

3ª linha                         |     a         e         f    |  g  

                                    ↑

                           traço divisória, para separar a raiz dos outros valores

a = cópia do coeficiente ,do grau mais elevado,  1

vazio →  na 2ª linha , por baixo do primeiro coeficiente nada se coloca

b = a*raiz

e = soma na vertical ( 0 + b)      

c = e * raiz

f = soma na vertical ( - 8 + c )

d = f * raiz

g = soma na vertical (  7 + d )

Como estamos a usar a regra Briot- Ruffini o "g" tem de vir igual a zero.

Se tal não acontecer, enganámo-nos nos cálculos.  

1ª linha                  |     1      0    - 8      7

2ª linha           1     |            1        1     - 7  

3ª linha                  |    1      1        - 7    | 0

                                   x²  + x  - 7 obtivemos um polinómio de grau 3 - 1 = 2

É este o objetivo prático desta regra.

Partimos de um polinómio de grau 3 e obtemos um polinómio de grau nunca superior a 2.

Dizemos que "baixamos de grau " .

E agora é facílimo procurar outras eventuais raízes da equação do terceiro

grau, inicial.

Já temos x = 1

Resolvamos a equação  x²  + x  - 7 = 0

               

Fórmula de Bhascara

x = ( - b ± √Δ ) / 2a   em que    Δ = b² - 4 *a * c

x²  + x  - 7 = 0

a =  1

b =  1

c = - 7

Δ = b² - 4 *a * c = 1² - 4 * 1 * ( - 7 ) = 1 + 28 = 29

√Δ = √29

x1 =( - 1 + √29 ) /2*1

$x_{1} = \frac{-1 +\sqrt{29} }{2}$

$x_{2} =\frac{-1-\sqrt{29} }{2}$

Observação final → Demonstra-se que os polinómios do terceiro grau têm, pelo menos, uma raiz real.

As outras duas raízes podem ser ambas números complexos.

Nesta equação são valores reais nas três raízes .

Bom estudo.

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Sinais : ( * ) multiplicação    ( / )   divisão    ( $x_{1} ;x_{2}$ ) raízes da equação 2º grau

( Δ ) delta ( letra grega) aqui este símbolo é o símbolo atribuído ao binómio

discriminante em equações do 2º grau