Question

X^2+Y^3=cos+lnY
alguém poderia me ajudar com essa questão?​

Answer 1

Acho que você esqueceu de especificar se é cosseno (x) ou cosseno (y), irei supor que seja cosseno (x).

Temos a seguinte expressão:

$\sf x {}^{2} + y {}^{3} = cos x + ln \: y$

Para derivar essa função, devemos usar a derivada implícita, ou seja, sempre que derivarmos a função "y", devemos multiplicar pela derivada da mesma, como por exemplo:

$\sf \frac{d}{dx} (3x {}^{2} + y {}^{2} ) \longleftrightarrow \sf 6x + 2y. \frac{dy}{dx}$

Aplicando a mesma lógica na expressão:

$\sf \frac{d}{dx} (x {}^{2} + y {}^{3} ) = \frac{d}{dx} (cosx + ln \: y)$

Lembrando que a derivada da soma de funções é igual a a derivada de cada uma das mesmas.

$\boxed{ \sf \frac{d}{dx} [ f(x) + g(x)] = \frac{d}{dx} [f(x)] + \frac{d}{dx} [g(x)] }$

Aplicando:

$\sf \frac{d}{dx} x {}^{2} + \frac{d}{dx} y {}^{3} = \frac{d}{dx} [cos \: x] + \frac{d}{dx} ( ln \: y) \\ \\ \sf 2x + 3y {}^{2} . \frac{dy}{dx} = - sen \: x + \frac{1}{y} . \frac{dy}{dx} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf 3y {}^{2} . \frac{dy}{dx} - \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = - sen \: x - 2x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} (3y {}^{2} - \frac{1}{y} ) = - sen \: x - 2x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{ - sen \: x - 2x}{3y {}^{2} - \frac{1}{y} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{ - sen \:x - 2x}{ \frac{3y^{2}.y - 1}{y} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{ - sen \: x - 2x}{ \frac{3y {}^{3} - 1}{y} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf \frac{dy}{dx} = \frac{ - sen \: x - 2x}{1}. \frac{y}{3y {}^{3} - 1 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{\sf \frac{dy}{dx} = \frac{( - sen \: x - 2x).y}{3 {y}^{3} - 1 } }\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado