Question

(x^2+3)^2-19(x^2+3)+84

Answer 1

Equação do 2º grau.

Tendo uma equação do 2ºgrau do tipo :

${\displaystyle f(x) = a.x^2 + b.x + c }$

podemos determinar a raiz através da fórmula de bhaskara, que é dada por :

$\fbox{\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4.a.c}}{2a} }$

Temos a seguinte função :

$\fbox{\displaystyle (x^2+3)^2 -19.(x^2+3) + 84 = 0 }$

no caso, nossa incógnita é $(x^2 +3 )$. Vamos fazer uma mudança de variável só para facilitar, admitindo $\fbox {\displaystyle (x^2+3) = k }$  

Então nossa função fica assim :

$\fbox{\displaystyle k^2 -19.k+ 84 = 0 }$

$a = 1, b = -19, c = 84$

Resolvendo por bhaskara :

$\fbox{\displaystyle K = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4.a.c}}{2.a} }$

substituindo os respectivos valores :

$\fbox{\displaystyle k = \frac{-(-19) \pm \sqrt{(-19)^2-4.1.84}}{2.1} }$

$\fbox{\displaystyle k = \frac{19 \pm \sqrt{361-336}}{2.1} \to k = \frac{19 \pm \sqrt{25}}{2} \to k = \frac{19 \pm 25}{2 } }$

Então :

$\fbox{\displaystyle k_1 = \frac{19+25}{2} \to k_1 = 22 }$

e

$\fbox{\displaystyle k_2 = \frac{19-25}{2} \to k_2 = -3 }$

porém

$\fbox {\displaystyle k = (x^2+3) }$

então vamos substituir os valores de K que encontramos e achar o valor de X :

1) $k_1 = 22$

$\fbox {\displaystyle k_1 = (x^2+3) \to 22 = x^2 + 3 \to x^2 = 22 - 3 }$

$\fbox {\displaystyle x^2 = 22 - 3 \to x^2 = 19 \to x = \pm \sqrt{19} }$

2) $k_2 = -3$

$\fbox {\displaystyle -3 = x^2+3 \to x^2 = -3 -3 \to x^2 = -6 \to x = \pm \sqrt{-6} }$

$\fbox{\displaystyle x = \pm \sqrt{6}.\sqrt{-1} \to x = \pm \sqrt{6}.i }$

note que deu um número complexo, logo temos o seguinte :

se  $( x \in \mathbb{R} )$ então $x = \pm \sqrt{19}$  

ou

se $( x \in \mathbb{Z} )$ então $x = \pm \sqrt{6}.i$

Como o conjunto não está definido, você pode dar todas as soluções;

$\fbox{\displaystyle x = [ +\sqrt{19},-\sqrt{19}, +\sqrt{6}.i, - \sqrt{6}.i] }$