Question

(X^2 - 1) ( 2x - 1)
------------------------ >_ 0
- x^2 - 9

Answer 1

Vamos lá.

Bia, pelo que você mandou na sua questão, estamos entendendo que a inequação estaria escrita da seguinte forma (se não for você avisa, certo?):

[(x²-1)*(2x-1)]/(-x²-9) ≥ 0

Veja: temos, no numerador, o produto de uma função do 2º grau (x²-1) por uma função do 1º grau (2x-1). E temos, no denominador, uma função do 2º grau (-x²-9).
Agora vamos fazer o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações e depois, em função delas, estudaremos a variação de sinais de cada uma.
Assim, teremos:
f(x) = x²-1 ---> raízes: x²-1 = 0 ---> x² = 1 ---> x = +-1, ou: x' = -1; x'' = 1
g(x) = 2x-1 ---> raízes: 2x-1 = 0 ---> 2x = 1 ---> x = 1/2
h(x) = -x²-9 ---> raízes: -x²-9 = 0 --> -x² = 9 ---> x² = -9 <--- Note: como, no âmbito dos Reais, não há raízes quadradas de números negativos, então a equação h(x), por ter o seu termo "a" negativo, será SEMPRE negativa para quaisquer que sejam os valores que "x" venha a assumir. (Observação: o termo "a" é o coeficiente de x²).

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma delas:

a) f(x) = x²-1...... ++++++++(-1)- - - - - - - - - - - - (1) + + + + + + + + + + +
b) g(x) = 2x-1... - - - - - - - - - - - - - -(1/2) + + + + + + + + + + + + + + + + +
c) h(x) = -x²-9...- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
d) a*b/c . . . . .  ++++++++(-1)- - - - (1/2)+++++(1) - - - - - - - - - - - - - - - - -

Agora veja: como queremos que f(x)*g(x)/h(x) seja MAIOR ou igual a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no item "d" acima, que nos fornece o resultado de f(x)*g(x)/h(x) .
Então, os intervalos que atendem ao domínio da inequação dada serão:

x ≤ -1,  ou: 1/2 ≤ x ≤ 1

Se você quiser, também poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {x ∈ R | x ≤ -1 , ou: 1/2 ≤ x ≤ 1}

E, também se quiser, o domínio também poderia ser dado da seguinte forma, o que significa a mesma coisa:

S = (-∞; -1] ∪ [1/2; 1] .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.