Question

x-1 x-2
__ ≥ __
x-3 x-4

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Bruno, que a resolução é simples. Basta apenas ter cuidado na hora em que fornecer o conjunto-solução (domínio) da inequação.
Tem-se:

(x-1)/(x-3) ≥ (x-2)/(x-4) ---- vamos pôr todo o 2º membro para o 1º membro da desigualdade, ficando assim:

[(x-1)/(x-3) - (x-2)/(x-4)] ≥ 0 ---- mmc = (x-3)*(x-4). Assim, utilizando-o:

[(x-4)*(x-1) - (x-3)*(x-2)]/[(x-3)*(x-4)] ≥ 0 ---- desenvolvendo, teremos:
[(x²-5x+4) - (x²-5x+6)]/(x²-7x+12)] ≥ 0 --- retirando-se os parênteses que estão no numerador, teremos:

[x²-5x+4 - x²+5x-6]/[x²-7x+12] ≥ 0 --- reduzindo os termos semelhantes no numerador, teremos:

(-2)/(x²-7x+12) ≥ 0

Agora veja: temos no numerador um número inteiro negativo (-2), representado pela função f(x) = - 2. E temos no denominador uma função do 2º grau [g(x) = x² - 7x + 12]. Como o resultado terá que ser MAIOR ou IGUAL a zero, então deveremos impor que a função do denominador seja MENOR do que zero (negativa), pois como o numerador é negativo, então deveremos ter também o denominador negativo, para que o resultado seja MAIOR ou igual a zero. Note, a propósito, que o resultado nunca será igual a zero, mas apenas maior do que zero, pois, para que a inequação dada fosse zero, seria necessário que o numerador fosse igual a zero (pois o denominador NUNCA poderá ser zero. Veja que não há divisão por zero). Então vamos impor que o denominador seja apenas menor do que zero, para que o resultado final dê MAIOR do que zero. Assim, imporemos isto:
x² - 7x + 12 < 0 ----- note que, aplicando Bháskara, você encontra que as raízes serão:

x' = 3
x'' = 4.

Então, em função das raízes do denominador, vamos estudar a variação de sinais. Já vimos que o numerador sempre será negativo, pois é constituído tão somente de um número inteiro negativo (-2). Assim, teremos:

a) f(x) = -2 ...... . . . - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ...
b) g(x) = x²-7x+12...+ + + + + + (3) - - - - - -  (4) + + + + + + + + +...
c) a/b . . . .. . .- - - - - - - - - - - - -(3) + + + + +(4) - - - - - - - - - - - - ....

Como queremos que a inequação dada seja MAIOR ou igual a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no item "c" acima, que nos fornece o resultado da divisão acima. Assim, o intervalo que é o conjunto-solução (domínio) da inequação dada será:

3 < x < 4 ---- Esta é a resposta.

Note que "x" NUNCA poderá ser igual a "3" nem a "4", pois assim, faríamos a expressão do denominador zerar. E não existe divisão por zero.
Por isso, o resultado é o que demos aí em cima (3 < x < 4).

Se quiser, poderá apresentar o conjunto-solução (domínio) da inequação originalmente dada da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈ R | 3 < x < 4}

Ou ainda, também se quiser, o conjunto-solução (domínio) poderá ser apresentado do seguinte modo, o que significa o mesmo:

D = (3; 4) .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.