Question

x ≡ 1 ( mod 2 )
x ≡ 2 ( mod 3 )
x ≡ 4 ( mod 11 )​

Answer 1

Resposta:   $x=66n+59$

com n ∈ ℤ, ou em notação de congruência

     $x\equiv 59\quad\mathrm{(mod~}66).$

Explicação passo a passo:

Resolver o sistema linear de congruências modulares.

     $\left\{\begin{array}{llc}x\equiv 1&~~\mathrm{(mod~}2)&\qquad\mathrm{(i)}\\ x\equiv 2&~~\mathrm{(mod~}3)&\qquad\mathrm{(ii)}\\ x\equiv 4&~~\mathrm{(mod~}11)&\qquad\mathrm{(iii)} \end{array}\right.$

A resolução a seguir tem como base o Teorema Chinês dos Restos, que garante a existência de solução única de sistema lineares de congruências, desde que os módulos das equações sejam dois a dois primos entre si.

Como 2, 3 e 11 são primos, então mdc(2, 3) = mdc (2, 11) = mdc(3, 11) = 1. Logo, o sistema tem solução, e a solução é única módulo 66 = 2 × 3 × 11.

• Resolvendo (i):

Vamos resolver a equação (i), porém tomando cuidado para que o representante desta solução não interfira nas outras duas equações.

Para isso, calculemos o produto dos módulos das outras equações:

     $3\cdot 11=33$

Agora, encontremos um valor $y_1,$ tal que

     $33y_1\equiv 1\quad\mathrm{(mod}~2)$

($y_1$ é um representante da classe inversa de 33 módulo 2).

Como 33 é ímpar, então $y_1=1$ é uma solução da equação acima.

A solução para a equação (i) é dada por

     $x_1\equiv 1\cdot (33y_1)\\\\ \Longleftrightarrow\quad x_1\equiv 1\cdot (33\cdot 1) \quad\mathrm{(mod~}2)\\\\ \Longleftrightarrow\quad x_1\equiv 33\quad\mathrm{(mod~}2)\qquad\mathrm{(iv)}$

Observe que o representante 33 para $x_1$ foi calculado de forma que

     $33\equiv 0\quad\mathrm{(mod~}3)\\\\ 33\equiv 0\quad\mathrm{(mod~}11).$

• Resolvendo (ii):

Calculemos o produto dos módulos das outras equações:

     $2\cdot 11=22$

Agora, encontremos um valor $y_2,$ tal que

     $22y_2\equiv 1\quad\mathrm{(mod}~3)$

($y_2$ é um representante da classe inversa de 22 módulo 3).

Como $22\cdot 1=21+1\equiv 1\quad\mathrm{(mod~}3),$ então $y_2=1$ é uma solução da equação acima.

A solução para a equação (ii) é dada por

     $x_2\equiv 2\cdot (22y_2)\quad\mathrm{(mod~}3)\\\\ \Longleftrightarrow\quad x_2\equiv 2\cdot (22\cdot 1)\quad\mathrm{(mod~}3)\\\\ \Longleftrightarrow\quad x_2\equiv 44\quad\mathrm{(mod~}3)\qquad\mathrm{(v)}$

Observe que o representante 44 de $x_2$ foi calculado de forma que

     $44\equiv 0\quad\mathrm{(mod~}2)\\\\ 44\equiv 0\quad\mathrm{(mod~}11).$

• Resolvendo (iii):

Calculemos o produto dos módulos das outras equações:

     $2\cdot 3=6$

Agora, encontremos um valor $y_3,$ tal que

     $6y_3\equiv 1\quad\mathrm{(mod}~11)$

($y_3$ é um representante da classe inversa de 6 módulo 11).

Como $6\cdot 2=12=11+1\equiv 1\quad\mathrm{(mod~}11),$ então $y_3=2$ é uma solução da equação acima.

A solução para a equação (iii) é dada por

     $x_3\equiv 4\cdot (6y_3)\quad\mathrm{(mod~}11)\\\\ \Longleftrightarrow\quad x_3\equiv 4\cdot (6\cdot 2)\quad\mathrm{(mod~}11)\\\\ \Longleftrightarrow\quad x_3\equiv 48\quad\mathrm{(mod~}11)\qquad\mathrm{(vi)}$

Observe que o representante 48 de $x_3$ foi calculado de forma que

     $48\equiv 0\quad\mathrm{(mod~}2)\\\\ 48\equiv 0\quad\mathrm{(mod~}3).$

• Solução geral:

A solução geral do sistema de equações é dada por

     $\Longrightarrow\quad x\equiv x_1+x_2+x_3\quad\mathrm{(mod~}2\cdot 3\cdot 11)\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\equiv x_1+x_2+x_3\quad\mathrm{(mod~}66)$

Atenção! Devemos substituir exatamente os mesmos representantes indicados como solução de cada uma das equações.

Substituindo, temos

     $\Longleftrightarrow\quad x\equiv 33+44+48\quad\mathrm{(mod~66})\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\equiv 125\equiv 125-66\quad\mathrm{(mod~}66)\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\equiv 59\quad\mathrm{(mod~}66)$

ou de forma equivalente,

     $x=66n+59\quad\longleftarrow\quad\mathsf{resposta.}$

com n ∈ ℤ.

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)