Question

(x+1)/(2-x) <( x)/(3+x)

Answer 1

$\dfrac{\left(x+1\right)}{\left(2-x\right)}\ \textless \ \dfrac{x}{\left(3+x\right)}$

Primeiro passo é trazer todos os termos da inequação para o lado esquerdo (nunca multiplique diretamente os termos em lados opostos como numa equação comum):

$\dfrac{\left(x+1\right)}{\left(2-x\right)}-\dfrac{x}{\left(3+x\right)}\ \textless \ 0$

Agora tiramos o mmc, que resultará:

$\dfrac{\left(x+1\right)\cdot\left(3+x)\ -x\cdot \left(2-x\right)}{\left(2-x\right)\cdot \left(3+x\right)}\ \textless \ 0$


Efetuamos as multiplicações:

$\dfrac{\left(x+1\right)\cdot\left(3+x)\ -x\cdot \left(2-x\right)}{\left(2-x\right)\cdot \left(3+x\right)}\ \textless \ 0\\ \\ \\ \dfrac{3x+x^{2}+3+x-2x+x^{2}}{6+2x-3x-x^{2}}\ \textless \ 0\\ \\ \\ \dfrac{2x^{2}+2x+3}{-x^{2}-x+6}\ \textless \ 0$

O que temos agora é uma inequação quociente, formada pela divisão de duas funções do segundo grau.

O próximo passo é resolver cada função para encontrarmos as suas raízes e analisarmos o sinal de cada uma separadamente:

1) Resolvendo a função do numerador:

$2x^{2}+2x+3=0\\ \\ \Delta=b^{2}-4\cdot a\cdot c\\ \\ \Delta=2^{2}-4\cdot 2\cdot 3\\ \\ \Delta=4-24\\ \\ \Delta=-20$

Para esta função, observamos que Δ < 0; isso significa que não existe raízes reais para ela.

Se não existe raízes, ou seja, não há valores possíveis para x, a parábola não toca o eixo x.

E mais, como nesta função o coeficiente a = 2 (portanto positivo), teremos uma parábola com concavidade para cima.

Isso nos permite concluir que a função será positiva para qualquer valor de x (veja o gráfico na imagem anexada abaixo).

Já podemos descartá-la como solução da inequação, visto que só queremos valores menores que zero.


2) Resolvendo a equação do denominador:

$-x^{2}-x+6=0\\ \\ \Delta=b^{2}-4\cdot a\cdot c\\ \\ \Delta=\left(-1\right)^{2}-4\cdot -1\cdot 6\\ \\ \Delta=1+24\\ \\ \Delta=25\\ \\ x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2\cdot a}\\ \\ \\ x=\dfrac{1\pm\sqrt{25}}{2\cdot \left(-1\right)}\\ \\ \\ x=\dfrac{1\pm 5}{-2}\\ \\ \\ x_ {1}=\dfrac{1+5}{-2}=\dfrac{6}{-2}=-3\\ \\ \\ x_ {2}=\dfrac{1-5}{-2}=\dfrac{-4}{-2}=2$

Agora, fazendo o estudo do sinal desta função através do seu gráfico, observamos que:

- Como o coeficiente a = -1 (portanto negativo), a parábola terá concavidade voltada para baixo.

- Para o x < - 3 e para x > 2, teremos que a função será menor que zero. Observe a segunda imagem anexada abaixo.

Assim, como queremos saber os valores que tornam a função menor que zero, então a solução é:

S = {x ∈ R | x < -3 ou x >2}.

Você pode verificar essa solução, substituindo x na inequação inicial por valores menores que -3 (como -4, -5, -6, ...) ou por valores maiores que 2 (como 3, 4, 5, 6, ...).

Exemplo: Vamos verificar se a desigualdade é válida quando x = - 5 e quando x = 6:

$\dfrac{\left(x+1\right)}{\left(2-x\right)}\ \textless \ \dfrac{x}{\left(3+x\right)}\\ \\ \\ x=-5\ \Rightarrow \dfrac{\left(-5+1\right)}{\left(2-(-5)\right)}\ \textless \ \dfrac{-5}{\left(3+(-5)\right)}\\ \\ \\ \Rightarrow \dfrac{-4}{7}\ \textless \ \dfrac{-5}{-2}\ \Rightarrow -\dfrac{4}{7}\ \textless \ \dfrac{5}{2}$

$x=6\ \Rightarrow \dfrac{\left(6+1\right)}{\left(2-6\right)}\ \textless \ \dfrac{6}{\left(3+6\right)}\\ \\ \\ \Rightarrow \dfrac{7}{-4}\ \textless \ \dfrac{6}{9}\ \Rightarrow -\dfrac{7}{4}\ \textless \ \dfrac{2}{3}$