(Vunesp) o conselho administrativo de um sindicato é constituído por doze pessoas, das quais uma é o presidente do conselho. A diretoria do sindicato tem quatro cargos a serem preenchidos por membros do conselho, sendo que o presidente da diretoria e do conselho não devem ser a mesma pessoa. De quantas maneiras diferentes esta diretoria poderá ser formada?
a) 40
B) 7920
C) 10890
D) 11!
E) 12!
Soluções para a tarefa
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São 12 cargos para o conselho administrativo. Mas se o presidente da DIRETORIA NÃO pode ser o presidente do CONSELHO, então só temos 11 possibilidades para escolher o presidente da diretoria, por isso A₁₁,₁.
Então sobram 3 cargos, onde o presidente do conselho também faz parte, por isso A₁₁,₃.
A análise combinatória será feita da seguinte forma:
A₁₁,₁ x A₁₁,₃ =
11!/(11-1)! x 11!/(11-3)!
11!/10! x 11!/8! regra da cadeia, para facilitar a conta,
(11x10!/10!) x (11x10x9x8!/8!) elimina o 10! e o 8!
11 x11x10x9
10.890 letra C.
Então sobram 3 cargos, onde o presidente do conselho também faz parte, por isso A₁₁,₃.
A análise combinatória será feita da seguinte forma:
A₁₁,₁ x A₁₁,₃ =
11!/(11-1)! x 11!/(11-3)!
11!/10! x 11!/8! regra da cadeia, para facilitar a conta,
(11x10!/10!) x (11x10x9x8!/8!) elimina o 10! e o 8!
11 x11x10x9
10.890 letra C.
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Esta diretoria poderá ser formada de 10890 maneiras.
Vamos supor que os traços a seguir sejam os quatro cargos a serem ocupados, sendo o primeiro do presidente: _ _ _ _.
Como o presidente da diretoria e do conselho não podem ser a mesma pessoa, então para o primeiro traço existem 11 possibilidades.
Escolhido o presidente, restam 11 pessoas. Assim:
Para o segundo traço existem 11 possibilidades;
Para o terceiro traço existem 10 possibilidades;
Para o quarto traço existem 9 possibilidades.
Portanto, pelo Princípio Multiplicativo, existem 11.11.10.9 = 10890 maneiras distintas de formar a diretoria.
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