Question

(Vunesp) Dado um sistema de coordenadas cartesianas no plano, considere os pontos A(2, 2), B(4, -1) e C(m, 0). Para que AC + CB seja mínimo, o valor de m deve ser:

Answer 1

Utilizando equação de reta, temos que para esta distancia ser minima, m deve ser  m = 10/3.

Explicação passo-a-passo:

Note que para somarmos dois segmentos de reta AC e CB e eles serem minimos é necessario que eles estejam alinhados, para não ficar nenhuma angulo.

Assim temos que estes três pontos devem estar alinhados, se eles estão alinhados eles devem obedecer uma equação de reta:

$y=Mx+N$

Onde M é coeficiente angular e  N o coeficiente linear.

O coeficiente M podemos encontrar pela formaula que utiliza dois pontos (onde iremso usar os pontos que temos A e B):

$M=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

$M=\frac{-1-2}{4-2}$

$M=-\frac{3}{2}$

Assim nossa equação fica:

$y=-\frac{3}{2}x+N$

Para descobrir N agora, basta substituir as coordenadas de um dos pontos que temos na equação em si, neste caso foi substituir A:

$y=-\frac{3}{2}x+N$

$2=-\frac{3}{2}2+N$

$2=-3+N$

$N=5$

Assim nossa equação completa é:

$y=-\frac{3}{2}x+5$

Então C deve passar por esta equação também, ou seja, basta substituir x por m e y por 0 (as coordenadas de C) e encontrarmos o valor de m:

$y=-\frac{3}{2}x+5$

$0=-\frac{3}{2}m+5$

$-\frac{3}{2}m=-5$

$3m=2.5$

$3m=10$

$m=\frac{10}{3}$

Assim temos que para esta distancia ser minima, m deve ser  m = 10/3.