(Vunesp-2005) Considere todos os números formados por 6 algarismos distintos obtidos permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. a) Determine quantos números é possível formar (no total) e quantos números se iniciam com o algarismo 1. b) Escrevendo-se esses números em ordem crescente, determine qual posição ocupa o número 512346 e que número ocupa a 242ª posição.
Soluções para a tarefa
Fazendo as devidas analises combinatorias, temos que:
a) 720, 120
b) 481ª, 312465
Explicação passo-a-passo:
a) Vemos que para formar um número temos 6 espaços e 6 algarismos:
. . . . . .
Sempre que preenchemos um espaço, sobra um a menos para o proximo espaço, então no total temos:
6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
720 formas de formar números com esses 6 algarismo.
Agora começando com 1, então já temos uma restrição, o primeiro sempre será 1, ou seja, sobram 5 espaço e 5 algarismo, então:
5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
120 formas de formar números com estes 6 algarismo e começando com 1.
b) Se colocarmos em ordem crescente, temos que ver quantos números começam com 1, quantos com 2, 3 e 4. Esta conta é completamente analoga a de 1, então todos valem 120 formas diferentes, ou seja, até o algarismo 5 tem 4 x 120 = 480 números que começam com os números anteriores.
E como o número 512346 é o primeiro número em ordem crescente, dos que começam com 5, então ele é o termo de ordem 481.
E se colocarmos em ordem crescente, sabemos que cada algarismo tem 120 formas diferentes de se escrever, então no 240ª, já é o ultimo termo dos de algarismo começando com 2, então o 242ª é o segundo termo que começa com 3, então colocando em ordem:
1º termo com 3: 312456
2º termo com 3: 312465
Então o 242ª termo é o 312465.
O conceito de permutação simples da análise combinatória, permite calcular:
(a) O total de números possíveis é 720, sendo os que iniciam com o algarismo 1 o total de 120 possibilidades.
(b) Considerando a ordenação crescente, o número 512346 ocupa a posição e a posição é ocupada por 312465.
Alternativa a
Para resolver essa questão vamos utilizar a fórmula de permutação simples da análise combinatória. Como podemos permutar os seis algarismos dados para qualquer posição, concluímos que, o total de número formado permutando esses algarismos é:
Para que o número obtido inicie com o algarismo 1, devemos fixar esse algarismo e permutar os outros cinco algarismos, obtemos então:
Alternativa b
Colocando os números em ordem crescente, temos que, todos que iniciam com 1, 2, 3 ou 4 são menores que 512346, e que nenhum que inicial com 5 é menor que esse número. Portanto, 512346 está localizado na posição , de fato:
Temos 120 números iniciando com o algarismo 1 e 120 números iniciando com o algarismo 2, totalizando 240 que iniciam com 1 ou 2. Portanto, o número procurado inicia com o algarismo 3. Observe que o número na posição é o 312456 e que o próximo será o número 312465.
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