Question

Você se lebra da relação de Euler? Ela se verifica em todos os poliedros convexos, entre os quais estão os poliedros regulares.


V+F=A+2


V: Número de vértices

F: Número de faces

A= Número de arestas


Complete este quadro, verificando a Relação de Euler em cada um dos poliedros regulares. A primeira linha já está preenchida.

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Cíntia, que os poliedros regulares são apenas 5 (cinco): tetraedro, hexaedro (ou cubo), octaedro, dodecaedro e icosaedro.
E eles são considerados regulares porque todas as suas medidas são congruentes (faces, arestas, ângulos, etc).
Assim, vamos tomar a tabela dada e vamos reproduzi-la aqui e colocaremos o número de vértices (V), número de faces (F), número de arestas (A), forma das faces (triangular, quadrangular, pentagonal, etc) e a relação de Euler: V+F = A + 2.
Assim, teremos:

Poliedros- vértices (V)-faces (F)- Arestas (A)-forma faces-Relação Euler: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V+F=A+2.
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Tetraedro.......4. . . . . . . . 4. . . . . . . 6. . . . . . . triangular. . . . . 4+4 = 6+2
Hexaedro. .  ..8. . . . . . . . 6. . . . . . 12. . . . . . .quadrangular. . 8+6 = 12+2
Octaedro. . ...6. . . . . . . . .8. . . . . . 12. . . . . . .triangular. . . . . 6+8 = 12+2
Dodecaedro..20.............12........... 30.............pentagonal......20+12 = 30+2
Icosaedro.....12..............20........... 30............. triangular........12+20 = 30+2

Note: como os poliedros acima são regulares e, como tal, todas as suas faces são congruentes assim como também todas as suas arestas,então para saber o número de arestas, basta multiplicar o número de faces pela forma da respectiva face (se for triangular multiplica por "3"; se for quadrangular multiplica por "4"; se for pentagonal  multiplica por "5" e assim vai). Depois basta dividir por "2", pois nesse caso contamos o número de arestas em dobro. Por isso é que o resultado do produto (nº de face*forma da face) deve ser dividido por "2".
A propósito, veja:
- o tetraedro tem 4 faces triangulares, então: 4*3 = 12 e 12/2 = 6 <--- por isso o tetraedro tem  6 arestas;
- o hexaedro tem 6 faces e a forma das faces é quadrangular. Então: 6*4 = 24; e 24/2 = 12 <--- Por isso o hexaedro tem 12 arestas;
- o octaedro tem 8 faces e a forma das faces é triangular. Então: 8*3 = 24; e 24/2 = 12 <--- Por isso o octaedro tem 12 arestas;
-o dodecaedro tem 12 faces e elas são pentagonais. Então: 12*5 = 60; e 60/2 = 30 <--- Por isso o dodecaedro tem 30 arestas;
- finalmente, o icosaedro tem 20 faces e cada face é triangular. Então: 20*3 = 60; e 60/2 = 30 <--- Por isso o icosaedro tem 30 arestas.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.