Você já viu quais são os valores das medidas do lado e do apótema em função da medida do raio nos triângulos equiláteros, nos quadrados e nos hexágonos regulares.
(imagem)
Agora determine em cada um deles o valor de ℓ, em função de α e o valor de α em função de ℓ.
(por favor ajudaa)
Soluções para a tarefa
O uso da geometria plana, das suas definições, conceitos e fórmulas é muito comum em diversas situações cotidianas. Diariamente nos envolvemos com situações em que a geometria se faz presente, como o cálculo de comprimentos, áreas, medidas de ângulos e outras. É um dos ramos da matemática que mais apresenta aplicações na vida prática, portanto, fundamental é conhecer, compreender e aplicar suas fórmulas na resolução de situações-problema.
Vejamos como podemos determinar a área de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de raio r em função da medida do raio.
Considere um triângulo equilátero de lado l, inscrito numa circunferência de raio r, como mostra a figura.
Onde a é o apótema do triângulo equilátero.
O centro C da circunferência é o ortocentro e baricentro do triângulo equilátero. Logo, seu comprimento equivale a 1/3 do valor da altura do triângulo. Ou seja,
Dessa forma, podemos constatar, também, que o raio r equivale a 2/3 do valor da altura do triângulo. Assim, podemos escrever:
Verificamos também que o apótema equivale à metade do valor do raio da circunferência. Ou seja:
Sabemos que a área de qualquer triângulo é dada por:
A = base x altura
Para o triângulo equilátero, sabemos que:
Logo, a área do triângulo equilátero será:
Nosso objetivo é determinar a área do triângulo equilátero em função do raio da circunferência. Temos que:
Daí, obtemos a seguinte igualdade:
Dessa forma, a área do triângulo equilátero inscrito numa circunferência, em função do raio r, será:
Vejamos alguns exemplos de aplicação.
Exemplo 1. Determine a área de um triângulo equilátero inscrito numa circunferência de 8 cm de raio.
Solução: Pelo enunciado, temos que r = 8 cm. A área do triângulo equilátero inscrito numa circunferência pode ser obtida conhecendo-se somente o valor do raio. Segue que:
Exemplo 2. Um triângulo equilátero com lados medindo 10 cm está inscrito numa circunferência de raio r. Calcule a área do círculo delimitado por essa circunferência.
Solução: Para determinar a área do círculo precisamos conhecer a medida de seu raio. Como sabemos a medida do lado do triângulo equilátero, podemos obter o valor de r pela fórmula:
Por Marcelo Rigonatto
Especialista em Estatística e Modelagem Matemática
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