Question

Você foi procurado por um fazendeiro de Minas Gerais que vende, atualmente, 800 litros de leite fresco por dia, operando no sistema de entrega expressa com o preço de venda de R$ 1,39 por cada 100 ml de leite. No entanto, após uma pesquisa de mercado, o empresário verificou que seu preço é o menor entre seus concorrentes, portanto, considerou realizar um estudo na tentativa de realizar um aumento.

Através dessa mesma pesquisa verificou-se junto ao mercado consumidor que com um aumento de R$0,15 no preço de 100 ml a fazenda deixaria de vender 25 litros de leite por dia, fato que despertou o interesse do empresário para obter mais informações quanto ao referido cenário. Assim, considerando que você foi contratado (a) como consultor (a) por esse empresário, estabeleça as informações requeridas pelo cliente.

Procedimentos:

1. Determine a função do preço do litro de leite em função do aumento.

2. Aponte a função da quantidade de leite vendido em função do aumento.

3. Desenvolva a função da receita da fazenda em relação ao aumento.

4. Defina qual deveria ser o preço por 100 ml de leite para maximização da receita do empresário.

5. Sinalize o valor da receita nessas condições.

Answer 1

1. Nesta fazenda, o preço por 100 ml de leite é R$ 1,39. Portanto, o valor de 1 litro é equivalente a R$ 13,90. Portanto, ao considerarmos  o preço do leite em função do aumento, e x como a variação no preço do litro, temos a seguinte função.              Y =(fx) = ax+b, substituindo,temos:
                                = x + 13,90
                               P(x) = 1,39 + 13,90 então,
                               P (A) = 1,39 + 13,90 = R$ 15,40 
                                 
2. Uma pesquisa junto ao mercado consumidor constatou que com um aumento de R$0,15 no preço de 100 ml (portanto, 1,50 em 1 litro), a fazenda deixaria de vender 25 litros de leite por dia e atualmente, a quantidade de leite fresco vendida por dia é de 800 litros por dia, assim, considerando que X representa a variação no preço do litro, podemos escrever que:
                       =800 −25
Por exemplo, se aumentarmos R$1,50 ao preço teremos uma nova quantidade de leite vendida por dia:
                   (A)  =800 − 25. 1,50 = 800 − 37,5 = 762,5 litros ( ? )  

3. A função receita é dada pelo produto do preço pela quantidade vendida. Assim, podemos escrever que:                                          = .
Substituindo as equações anteriores, temos:
               =.()= (  x + 13,90 )  .  ( 800 − 25)
               =800 x – 25x2 + 11.120 –  347,5 x
                        -25x2 +800x – 347,5 x + 11.120
                           -25x2  + 452.5x + 11.120
Como o coeficiente de a < 0, implica em um ponto de máximo para a receita.O valor de X, que representa o aumento que maximizaria a receita, é a coordenada do vértice da parábola que é seu ponto de máximo: =  -25x2  + 452.5 x + 11.120
a =  -25 ;  b = 452,5  e  c =  11.120
= −\2= - ( 452,5)  \  2.(-25)    = - 452,5 \ -50    =  +   9,05                          Desse modo, quando o aumento for de R$ 9,05 teremos a máxima receita. Nessas condições, o preço praticado será de: ( 9,05 )  =13,90+9,05 =$22,954. Expresso por 100 ml, teremos: 100ml = $22,95/litro   100 ml = $ 2,295 ≈$ 2,30 100ml
5. Agora, substituindo o valor na função da receita temos:=  - 25x2  + 452.5 x + 11.120
  R( 9,05)=    -25. (9,05)2  + ( 452,5 . 9,05)  +  11.120
        ( -25 . 81,90)  +  4.095,12 + 11.120
- 2.047,5   + 15. 215,12  = 13.167,62
R(9,05)  =R$ 13.167,62