Question

Você foi procurado por um empresário de um restaurante da zona oeste do Rio de Janeiro, que vende, atualmente, 800 Kg de comida por dia, operando no

sistema de comida a quilo. No presente momento, é praticado o preço de R$ 3,19 por 100 gramas de comida, mas o empresário, de posse de uma pesquisa de mercado, verificou que seu preço não é o maior entre seus concorrentes, conforme pode ser visto na tabela abaixo, revelada pela pesquisa:
ESTABELECIMENTO PREÇO DO KILO
Sabor Gourmet R$ 39,00
Tia Neide R$ 30,00
Churrasco Carioca R$ 33,99
Rio Doce R$ 37,50
Fest-Food Oeste R$ 32,50
Ainda nessa mesma pesquisa foi verificado junto ao mercado consumidor que, com um aumento de R$0,10 no preço de 100 gramas, o restaurante deixaria de vender 20 Kg de comida por dia, o que representaria para o empresário a percepção de que não é vantajoso um eventual aumento.
Você, como consultor contratado por esse empresário, deve responder às seguintes indagações do seu cliente:
a) Qual é a função do preço do quilo de comida em função do aumento? 
b) Qual é a função da quantidade de comida vendida em função do aumento? 
c) Qual é a função da receita do restaurante em relação ao aumento? 
d) Qual deveria ser o preço por 100 gramas que maximizaria a receita do restaurante? 
e) Qual é o valor da recita nessas condições?

Answer 1

a) Qual é a função do preço do quilo de comida em função do aumento?

$\boxed{pre\c{c}o= 31,90 + x}$



b) Qual é a função da quantidade de comida vendida em função do aumento?

$\boxed{quantidade = 800 - 20x}$



c) Qual é a função da receita do restaurante em relação ao aumento?

$R_{(x)} = pre\c{c}o \times quantidade\\\\ R_{(x)} = (31,90 +x) \times (800 - x)\\\\ \boxed{R_{(x)} = -20x^2+162x+25.520}$



d) Qual deveria ser o preço por 100 gramas que maximizaria a receita do restaurante?

Encontrando o valor de x que representa o valor (adicional ao valor inicial do Kilograma) que gera a receita máxima:

$x_{v} = \dfrac{-b}{2a}\\\\ x_{v} = \dfrac{-162}{2(-20)}\\\\ x_{v} = R\ \ 4,05\\\\\\ Valor\ maximizado\ do\ Kilo = 31,90 + 4,05 = R\ \ 35,95\\\\ \boxed{Valor\ maximizado\ de\ 100\ gramas = R\ \ 3,60}\ (\ arredondado\ )$



e) Qual é o valor da receita nessas condições?

Basta aplicarmos o valor que maximiza a receita (R$ 4,05), na função receita, para encontrarmos a receita maximizada:

$R_{(4,05)}=-20(4,05)^2+162(4,05)+25.520\\\\ R_{(4,05)}=-328,05+656,1+25.520\\\\ \boxed{R_{(4,05)}=R\ \ 25.848,05}$



Espero ter ajudado.
Bons estudos!