Você está trabalhando em um resort tropical, e está preparando uma atividade de caça ao tesouro para os hóspedes. Você recebeu um mapa e instruções para seguir suas indicações e enterrar um "tesouro" em dado local. Você não quer perder tempo caminhando pela ilha, porque precisa concluir logo a tarefa para ir surfar. As indicações são as de caminhar 3.00 km apontando para 60,0º a norte do leste, e depois 4.00 km apontando para 40.0º a norte do oeste. Para onde você deve apontar e quanto deve caminhar para concluir rapidamente a tarefa. Encontre a resposta (a) graficamente e (b) usando componentes.
Soluções para a tarefa
Resposta:
A distância mais curta para o tesouro é de 5.40 km, e o ângulo será de 73.16° a partir do Oeste.
Explicação:
Para encontrar a resposta graficamente, precisaremos de papel milimetrado, uma régua, um transferidor e um compasso. Para a solução usando componentes, iremos usar vetores.
a) Graficamente, seguiremos os passos abaixo:
i) Marcar o ponto inicial A num ponto no meio da página, no ponto de encontro entre duas linhas.
ii) Fixar a agulha do compasso no ponto inicial.
iii) Abrir o compasso, estendendo a ponta da grafite até a marca de 3 cm sobre a linha que passa no ponto inicial. Traçar um círculo com essa medida em torno do ponto inicial.
iv) Usando o transferidor, medir o ângulo de 60° a partir da linha horizontal passando pelo ponto inicial, no sentido anti-horário. Marcar o ponto sobre o círculo desenhado em iii) que encontra o ângulo de 60°. Chame este ponto de B.
v) Fixar a agulha do compasso no ponto B.
vi) Abrir o compasso, estendendo a ponta da grafite até a marca de 4 cm sobre a linha que passa no ponto B. Traçar um círculo com essa medida em torno do ponto B.
vii) Usando o transferidor, medir o ângulo de 40° a partir da linha horizontal passando pelo ponto B, no sentido horário. Marcar o ponto sobre o círculo desenhado em vi) que encontra o ângulo de 40°. Chame este ponto de C.
viii) Ligue os pontos A e C.
ix) A distância direta entre A e C pode ser medida com uma régua. O ângulo pode ser medido usando o transferidor, veja na figura que será um ângulo a partir do oeste no sentido horário.
Observe que fizemos o cálculo em escala, de 1cm : 1km ou seja 1:100.000, então para obter a distância procurada temos que multiplicar o resultado obtido em ix) por 100.000 para converter em km.
b) Para resolver o problema analiticamente, iremos fazer uma soma vetorial, veja a figura anexa.
Faremos a soma dos vetores AB e BC, obtendo o vetor AC. Decompondo os vetores AB e AC nos eixos x e y, podemos escrever os componentes x e y do vetor AC como:
= 4 * sen 40° + 3 * sen 60° = 4 * 0.64278760968 + 3 * 0.86602540378 = 5.16922665006
= 4 * cos 40° - 3 * cos 60° = 4 * 0.76604444311 - 3 * 0.5 = 1.56417777244
Então podemos calcular o módulo do vetor AC que é a distância d entre os pontos A e C:
Para obter o ângulo a entre o eixo x e o vetor AC,
tg a = 5.16922665006 / 1.56417777244
tg a = 3.30475649324
a = arctg (3.30475649324)
a = 73.16°
