Question

Você está participando de um programa de TV no qual existe 3 portas, dentro de 2 delas tem um carrinho de brinquedo, em uma delas tem uma ferrari. O apresentador te pede para escolher uma, logo após ele abre uma das portas revelando um carrinho assim sobrando apenas a de sua escolha e outra. O apresentador te pergunta se você gostaria de trocar de porta, você tem mais chance de ganhar se trocar de porta ou se manter a sua escolha original?

Answer 1

Xi
: “a porta número i guarda o prêmio” e
Yj
: “apresentador informa que a porta número j não guarda o prêmio”.
Probabilidades iniciais para o participante: observe que P(X1) = P(X2) = P(X3) = 1/3.
Informações do problema: A pergunta pode ser respondida comparando P(X1|Y3) e P(X2|Y3),
pois P(X3|Y3) = 0, já que o apresentador informou que a porta 3 não guarda o prêmio e levando
em conta que o participante escolheu a porta 1.
Assim temos as seguintes probabilidades condicionais:
P(Y2|X1) = P(Y3|X1) = ½, P(Y2|X2) = P(Y3|X3) = 0 e
P(Y2|X3) = P(Y3|X2) = 1.
De modo que pelo Teorema da Probabilidade Total
P(Y3) = P(Y3|X1) P(X1) + P(Y3|X2) P(X2) + P(Y3|X3) P(X3) = ½ × 1/3 + 1 × 1/3 + 0 × 1/3 = ½.
E pela Fórmula de Bayes,
P(X1|Y3) = P(X1 ∩ Y3)/P(Y3) = P(Y3|X1) P(X1)/P(Y3) = (1/2x1/3)/1/2 = 1/3 e
P(X2|Y3) = P(X2 ∩ Y3)/P(Y3) = P(Y3|X2) P(X2)/P(Y3) = (1x1/3)/1/2 = 1/3 / 1/2 = 2/3.

Logo, vale a pena mudar a escolha.