Question

Visando obter uma informação precisa de sua nova fazenda, Sr. Anastácio contratou um topógrafo para que pudesse saber, com precisão, a área do terreno de sua fazenda. Para facilitar os trabalhos, o topógrafo responsável decidiu utilizar uma vista aérea do terreno por meio de uma foto via satélite. A escritura da propriedade relata que, se forem traçados dois segmentos de reta AC e BD, encontraremos um ponto de intersecção E entre elas tais que AE = 1 Km, BE = 4 Km, CE = 3 Km e DE = 2 Km.

O ângulo agudo BÊC tem medida § = $\frac{\sqrt{7} }{4}$

Com base nas informações anteriores, o topógrafo concluiu que o terreno tem área igual a:

a) 7 Km²
b) 9 Km²
c) 11 Km²
d) 13 Km²
e) 15 Km²

Answer 1

Resposta:

Chamaremos § de x.

Veja que temos 4 triângulos na imagem. A área de um triângulo pode ser calculada por:

$S = \frac{a.b. \sin(C) }{2} = \frac{a.c. \sin(B) }{2} = \frac{b.c. \sin(A) }{2}$

Dessa maneira, temos:

$S _{ΔAED} = \frac{1 \times 2 \times \sin( x) }{2}$

$S _{ΔAED} = \sin(x)$

Em ΔEDC:

$S _{ΔEDC} = \frac{2 \times 3 \times \sin(\pi - x) }{2}$

Sabe-se que $sin(\pi-x)=sin(x)$. Dessa forma, temos:

$S _{ΔEDC} = 3 \sin(x)$

Em ΔECB:

$S _{ΔECB} = \frac{4 \times 3 \times \sin(x) }{2}$

$S _{ΔECB} = 6 \sin(x)$

Em ΔEBA:

$S _{ΔEBA} = \frac{1 \times 4 \times \sin(\pi - x) }{2}$

$S _{ΔEBA} = 2 \sin(x)$

A área total da figura é dada por:

$S _{total} = S _{ΔAED} + S _{ΔEDC} + S _{ΔECB} + S _{ΔEBA}$

$S _{total} = 12 \sin(x)$

Agora temos que achar o seno de x. Usaremos a identidade pitagórica:

$\cos^{2} (x) + \sin ^{2} (x) = 1$

$( \frac{ \sqrt{7} }{4} ) ^{2} + \sin^{2} (x) = 1$

$\frac{7}{16} + \sin ^{2} (x) = 1$

$\sin ^{2} (x) = \frac{9}{16}$

O seno deve ser positivo, ou, caso contrário, resultaria em uma área negativa:

$\sin(x) = \frac{3}{4}$

Substituindo, temos:

$S _{total} = 12 \times \frac{3}{4}$

$S _{total} = 9 \: k {m}^{2}$

Letra B.