Question

VI)Determine o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada pelas curvas dadas, em torno do eixo indicado.

y = 4x-x^2 e y = x, em torno da reta x = 3 (Usar método do invólucro)

Answer 1

Usando o método das casca cilíndricas, teremos que traçar uma reta auxiliar paralela ao eixo de rotação.

V = ∫ 2πxΔh

Onde, x é a distância do eixo de rotação até a curva.

d = (3 - x)

Já Δh é a diferença da função mais acima com a debaixo.

verificando o ponto de interseção das curvas

4x-x² = x

x² +x - 4x = 0

x² -3x = 0

x(x-3) = 0

x = 0 ou x = 3
  
 0 ≤ x ≤ 3

A função mais acima é y = 4x - x²

Então,

$\\ V = 2 \pi \int\limits^3_0 {(3-x)(4x-x^2-x)} \, dx \\ \\ V = 2 \pi \int\limits^3_0 {(3-x)(3x-x^2)} \, dx \\ \\ V = 2 \pi \int\limits^3_0 {(9x-3x^2-3x^2+x^3)} \, dx \\ \\ V = 2 \pi \int\limits^3_0 {(9x-6x^2+x^3)} \, dx \\ \\ V = 2 \pi ( \frac{9x^2}{2} -2x^2+ \frac{x^4}{4} )|(0,3) \\ \\ V = 2 \pi ( \frac{81}{2} -18+ \frac{81}{4} ) \\ \\ V = 2 \pi ( \frac{243}{4}-18) \\ \\ V = 2 \pi ( \frac{171}{4}) \\ \\ V = \frac{171 \pi }{2}u.v$