Question

VETORESSS Determine um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2u + v e v − u, sendo u =
(3, −1, −2) e v = (1, 0, −3).
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Answer 1

Resposta:

(3,7,1) ou qualquer múltiplo não nulo desse vetor

Explicação passo-a-passo:

Temos

2u+v = 2(3, −1, −2) + (1, 0, −3) = (7,-2,-7)

v-u =  (1,0,-3) - (3,-1,-2) = (-2,1, -1)

Queremos um vetor w perpendicular a (7,-2,-7) e (-2,1, -1) ao mesmo tempo. Dá pra fazer de duas formas

1ª maneira: Usando produto vetorial

Basta lembrar que o produto vetorial de dois vetores é ortogonal aos dois  ao mesmo tempo. Assim, basta escolher w como o produto vetorial deles:

$w = (7,-2,-7) \times (-2,1,-1) = \left|\begin{array}{ccc} \bf i & \bf j & \bf k \\7 & -2 & -7 \\-2 & 1 & -1 \end{array} \right| = 9{\bf i} + 21{\bf j} + 3 {\bf k} = (9,21,3)$

Então esse vetor é perpendicular ao mesmo tempo aos dois acima. Podemos trocá-lo por qualquer múltiplo também, como por exemplo (3,7,1)

2ª maneira: Usando produto escalar

Seja w = (x,y,z) perpendicular a (7,-2,-7) e (-2,1, -1). Isso quer dizer que o produto escalar de w com esses vetores é zero. Ou seja, temos o sistema

7x - 2y - 7z = 0

-2x + y - z = 0

Esse sistema tem infinitas soluções já que qualquer multiplo de w também é perpendicular. Resolvendo, as soluções são da forma  t(3,7,1), onde t é um número real qualquer. Em particular para t =1 temos a solução (3,7,1).