Question

VETORES Utilize produtos calar para provar as seguintes resultados geométricos:
a) as diagonais de um retângulo tem o mesmo comprimento.​

Answer 1

Seja A,B,C,D os vértices do retângulo, nessa ordem. Então suas diagonais são AC e BD. Para simplificar, seja u o vetor AB e v o vetor BC. Assim temos

u = AB = DC

v = BC = AD

Assim, a diagonais são

AC = AB+BC = u+v

BD = BC + CD = u-v

Uma maneira de provar que as diagonais tem comprimentos iguais é verificar que:

(u+v)·(u+v) = (u-v)·(u-v)

De fato, observe que uv = 0 pois num retangulo lados adjacentes são perpendiculares. Daí, usando as propriedades do produto escalar concluímos

|AC|² = |u+v|² = (u+v)·(u+v) = u·u + 2u·v + v·v = u·u + v·v

|BD|² = |u-v|² = (u-v)·(u-v) = u·u - 2uv + v·v = u·u+v·v

Ou seja |AC| = |BD|. Portanto as diagonais de um retângulo tem mesmo comprimento.