VETORES Resolva a equação
(i x X) x i+(X x j)x j + (X x k) x K = 0.
Soluções para a tarefa
Como essa equação envolve vários produtos vetoriais, o seguinte resultado será útil: Dados vetores u,v e w vale a identidade:
(u x v) x w = (w·u)v - (w·v)u
onde x denota o produto vetorial e · denota o produto escalar. Além disso,
{i, j, k} é a base canônica.
Aplicando ao problema temos:
(i x X) x i = (i·i)X - (i·X)i = X - (i·X)i
(j x X) x j = (j·j)X - (j·X)j = X - (j·X)j
(k x X) x k = (k·k)X - (k·X)k = X - (k·X)k
Escrevendo X = ai + bj + ck temos
i·X = a
j·X = b
k·X = c
Substituindo essas informações na equação temos:
[ (i x X) x i ] + [ (j x X) x j ] + [ (k x X) x k ] = 0
[ X - ai ] + [ X - bj ] + [ X - ck ] = 0
3X = ai + bj + ck = X
X = 0
Resposta:
A única solução é X = 0.
Obs.:
Você também pode substituir na equação e efetuar o produto vetorial lembrando da linearidade e que
i x j = k
j x k = i
k x i = j
i x i = j x j = k x k = 0
Dá um pouco mais de trabalho, mas em troca não é necessário memorizar a identidade do produto vetorial triplo.