Question

VETORES
Prove que se u, v, w é uma base ortonormal do espaço (u ⊥ v, u ⊥ w, v ⊥ w) e t é um
vetor qualquer do espaço, então:

t = proj ut + projbvt + proj wt​

Answer 1

Como {u,v,w} é base existem escalares a,b,c tais que

t = au + bv + cw

Tomando o produto escalar (interno) com u de ambos os lados temos:

< t , u > = < au + bv + cw , u >

Usando a linearidade temos

< t , u > = a < u , u > + b < v , u > + c < w , u >

Como {u,v,w} é ortonormal, temos < u , u > = 1 e < v , u > = < w , u > = 0

< t , u > = a

Fazendo a mesma coisa para v e w concluimos que

< t , v > = b

< t , w > = c

Logo

t = < t , u > u + < t , v > v + < t , w > w

Como u,v,w são unitarios, os termos acima são exatamente as projeções de t sobre u, v e w respectivamente, como queríamos.