Vetores - Prove que (está na foto)
Soluções para a tarefa
Relembramos primeiro algumas propriedades. Dados u,v,w vetores, o produto misto é definido por:
[u,v,w] = u(v x w)
onde denota do produto escalar e x o produto vetorial. Além disso, o produto misto é antissimétrico. Ou seja, trocando dois vetores de posição o resultado muda de sinal. Por exemplo, [u,v,w] = -[v,u,w]. Fazendo isso para todos as combinações possíveis temos:
[u,v,w] = [v,w,u] = [w,u,v] = -[u,w,v] = -[v,u,w] = -[w,v,u]
Essa propriedade também implica que [u,v,w] = 0 se u = v ou u = w ou v = w. Outra propriedade importante é que o produto misto é linear em cada entrada. Isso quer dizer que podemos resolver de maneira similar a um "chuveirinho". Por exemplo,
[u + 2v + 3w, v, w] = [u,v,w] + 2 [v,v,w] + 3 [w,v,w]
Usando a antissimetria simplificamos ainda mais. Temos [v,v,w] = [w,v,w] = 0. Logo [u + 2v + 3w, v, w] = [u,v,w] . Outro exemplo:
[2u+3v, 5u+7v, w] = 10 [u,u,w] + 14[u,v,w] + 15[v,u,w] + 21[u,v,w]
[2u+3v, 5u+7v, w] = 14[u,v,w] - 15[u,v,w] = -[u,v,w]
Com as três propriedades acima podemos resolver o problema da mesma forma que fizemos o anterior (vou deixar o link no fim).
Dessa vez usaremos propriedades dos determinantes. Para isso relembramos que
[u,v,w] = det(u,v,w)
Onde det(u,v,w) é o determinante da matriz cujas colunas são os vetores u, v e w. Para não confundir com produto misto, usaremos (u,v,w) para representar a matriz com colunas u, v e w. Consideramos então os vetores
U = a₁u + b₁v + c₁w
V = a₂u + b₂v + c₂w
W = a₃u + b₃v + c₃w
e a matriz M cujas colunas são (a₁, b₁, c₁), (a₂, b₂, c₂) e (a₃, b₃, c₃) (desculpe escrever assim, mas por algum motivo não estou conseguindo usar as fórmulas do site hoje). Então temos:
(U, V, W) = M*(u,v,w)
Ou seja (recomendo escrever as matrizes ver melhor) a matriz cujas colunas são U, V e W é o produto de M por (u,v,w). Logo:
det(U,V,W) = det M * det(u,v,w)
[U,V,W] = det M * [u,v,w]
E isso é justamente o que queríamos provar.
Obs.: A questão anterior é
https://brainly.com.br/tarefa/25843034