Química, perguntado por isabelascampo, 10 meses atrás

VETORES Mostre que o duplo produto vetorial é definido como u X (v X w) = (u.w)v - (u.v)w​.

(É matemática, mas eu coloquei química sem querer)

Soluções para a tarefa

Respondido por cassiohvm
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Queremos provar a identidade do produto triplo vetorial:

u x (v x w) = (u·w)v - (u·v)w   ( I )

Primeiro vamos supor que u, v e w são elementos da base canônica {i, j, k} e verificar que a ( I ) é verdadeira para todas as possibilidades. São 3x3x3=27 possibilidades, mas  só precisamos verificar algumas. Relembramos que:

i x j = k      e     j x i = -k  

j x k = i      e      k x j = -i

k x i = j      e      i x k = -j

i x i = j x j = k x k = 0

Caso 1: v = w

Então pelas propriedades acima vale:

v x w = 0 ⇒ u x (v x w) = 0

(u·w)v - (u·v)w = (u·v)v - (u·v)v = 0  

Assim, nesse caso ( I ) é verdadeira.

Caso 2: v ≠ w

Nesse caso, podemos supor que v = i e w = j, todos os outros casos são idênticos.

Subcaso 2a: u = k

Nessa situação temos

u x (v x w) = k x k = 0

u·w = u·v = 0 ⇒ (u·w)v - (u·v)w = 0

Assim, ( I ) é verdadeira

Subcaso 2b: u = i ou u = j

Esse é a situação mais interessante. Se u = i, então

u x (v x w) = i x k = -j

(u·w)v - (u·v)w = (i·j)i - (i·i)j

Se u = j a conta é idêntica. Isso conclui todas as possibilidades

O próximo passo é entender que se ( I ) é verdadeiro pra u,v,w ∈ {i, j, k}, então é verdadeira para todos os u,v,w. Isso decorre da linearidade de ambos os membros da igualdade. Mais precisamente, considere as funções

f(u,v,w)  = u x (v x w)

g(u,v,w) =  (u·w)v - (u·v)w

O nosso objetivo é mostrar que

f(u,v,w) =g(u,v,w)

Mas observe que

f(u₁ + λu₂, v, w)= f(u₁,v,w) + λ f(u₂,v,w)

E o mesmo vale para a função g. Além disso funciona também para as coordenadas de v e de w. Isso quer dizer que f e g são funções tri-lineares (ou seja, linear em cada uma das 3 coordenadas). E uma propriedade desse tipo de função é que se elas coincidem em uma base, então coincidem em todos os pontos (não é muito difícil de provar isso). Com essa propriedade concluímos o problema.

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