VETORES Mostre que o duplo produto vetorial é definido como u X (v X w) = (u.w)v - (u.v)w.
(É matemática, mas eu coloquei química sem querer)
Soluções para a tarefa
Queremos provar a identidade do produto triplo vetorial:
u x (v x w) = (u·w)v - (u·v)w ( I )
Primeiro vamos supor que u, v e w são elementos da base canônica {i, j, k} e verificar que a ( I ) é verdadeira para todas as possibilidades. São 3x3x3=27 possibilidades, mas só precisamos verificar algumas. Relembramos que:
i x j = k e j x i = -k
j x k = i e k x j = -i
k x i = j e i x k = -j
i x i = j x j = k x k = 0
Caso 1: v = w
Então pelas propriedades acima vale:
v x w = 0 ⇒ u x (v x w) = 0
(u·w)v - (u·v)w = (u·v)v - (u·v)v = 0
Assim, nesse caso ( I ) é verdadeira.
Caso 2: v ≠ w
Nesse caso, podemos supor que v = i e w = j, todos os outros casos são idênticos.
Subcaso 2a: u = k
Nessa situação temos
u x (v x w) = k x k = 0
u·w = u·v = 0 ⇒ (u·w)v - (u·v)w = 0
Assim, ( I ) é verdadeira
Subcaso 2b: u = i ou u = j
Esse é a situação mais interessante. Se u = i, então
u x (v x w) = i x k = -j
(u·w)v - (u·v)w = (i·j)i - (i·i)j
Se u = j a conta é idêntica. Isso conclui todas as possibilidades
O próximo passo é entender que se ( I ) é verdadeiro pra u,v,w ∈ {i, j, k}, então é verdadeira para todos os u,v,w. Isso decorre da linearidade de ambos os membros da igualdade. Mais precisamente, considere as funções
f(u,v,w) = u x (v x w)
g(u,v,w) = (u·w)v - (u·v)w
O nosso objetivo é mostrar que
f(u,v,w) =g(u,v,w)
Mas observe que
f(u₁ + λu₂, v, w)= f(u₁,v,w) + λ f(u₂,v,w)
E o mesmo vale para a função g. Além disso funciona também para as coordenadas de v e de w. Isso quer dizer que f e g são funções tri-lineares (ou seja, linear em cada uma das 3 coordenadas). E uma propriedade desse tipo de função é que se elas coincidem em uma base, então coincidem em todos os pontos (não é muito difícil de provar isso). Com essa propriedade concluímos o problema.