Question

VETORES
Dados: a base ortonormal E e os vetores w = (1, 1)E, u = (−2, 1)E e v = (1, 2)E. Escreva

w como CL de u e de v. Resolva através do conceito de projeção. Explique porque é

possível resolver através de projeção.​

Answer 1

Primeiro vamos calcular a projeção de w na direção de u:

$\textrm{Proj}_uw = \dfrac{\langle w, u \rangle }{\langle u , u \rangle} u = \dfrac{\langle (1,1), (-2,1) \rangle }{\langle (-2,1) , (-2,1) \rangle} u = -\dfrac{1 }{5} u$

E agora a  projeção de w na direção de v:

$\textrm{Proj}_vw = \dfrac{\langle w, v \rangle }{\langle v , v \rangle} v = \dfrac{\langle (1,1), (1,2) \rangle }{\langle (1,2) , (1,2) \rangle} v = \dfrac{3 }{5} v$

Observe que:

$\textrm{Proj}_uw + \textrm{Proj}_uw = -\dfrac{1 }{5} u + \dfrac 35v = -\dfrac{1 }{5} (-2,1) + \dfrac 35(1,2) = \left( \dfrac {2+3}{5}, \dfrac{-1+6}{5}\right)$

$\textrm{Proj}_uw + \textrm{Proj}_uw = (1,1) = w\newline \textrm{Ou seja:} \begin{center} \boxed{w = -\dfrac 15u + \dfrac 35v} \end{center}$

Isso quer dizer que escrevemos w como combinação linear de u e v.

Foi coincidência que deu certo? Sim e não. Isso não funciona sempre, então por esse lado é coincidência ter dado certo. Por outro lado, sempre da pra fazer assim quando os vetores u e v são perpendiculares. E nesse caso eles são. Nesse sentido não foi coincidência. Agora vamos justificar porque funciona.

Para escrever w como combinação linear de u e v, queremos encontrar dois números a,b tais que w = au + bv. Mas como os vetores u e v são perpendiculares, isso quer dizer que <u, v > = 0. Assim temos:

$w = au + bv \Rightarrow \begin{cases}\langle w, u \rangle = a \langle u,u \rangle + b \langle v, u \rangle \\[3ex]\langle w, v \rangle = a \langle u,v \rangle + b \langle v, v \rangle\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a= \dfrac { \langle w, u \rangle} {\langle u,u \rangle} \\[3ex]b= \dfrac { \langle w, v \rangle} {\langle v,v \rangle}\end{cases}$

Ou seja,

$w = \dfrac { \langle w, u \rangle} {\langle u,u \rangle}u + \dfrac { \langle w, v \rangle} {\langle v,v \rangle} v = \textrm{Proj}_uw + \textrm{Proj}_vw$

Por isso funcionou nesse caso.