Question

VETOREEEES. Mostre que |u + v|² = |u|² + 2u · v + |v|². Calcule |2u + 4v| sabendo que u é um vetor unitário, |v| = 2 e o ângulo entre u e v é 2π/3

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Seja x = (x₁, x₂, ..., xₙ) um vetor

O produto escalar de v com v é

x·x = x₁² + x₂² + ... + xₙ²

Por outro lado, a normal de v ao quadrado também tem esse valor. Ou seja

|x|² = x·x     ( I )

Assim:

|u+v|² = (u+v)·(u+v)

Lembrando que o produto escalar é (bi)linear temos:

|u+v|² = u·u + u·v + v·u + v·v

Como u·v = v·u e usando novamente ( I ) segue que

|u+v|² = |u|² + 2 u·v + |v|²

Isso termina a parte de provar

Para a segunda parte do problema, sabemos que |u| = 1 e |v| =2. E podemos calcular u·v pela fórmula

u·v = |u| |v| cos θ

onde θ é o ângulo entre u e v. Ou seja

u·v = 1*2*cos(2π/3)

u·v = -1

Com isso temos:

|2u+4v|² = (2u+4v)·(2u+4v)

|2u + 4v|² = 4 u·u + 8 u·v + 8 v·u + 16v·v

|2u+4v|² = 4 |u|² + 16u·v + 16|v|²

|2u + 4v|² = 4 -16 + 64

|2u+4v|² = 52

|2u+4v| = 2√13