VETOREEEES A medida angular entre os vetores a e b é π/3rad, e seus módulos 1 e 2, respectivamente. Sendo u = a +b e v = a −b, calcule o módulo de ║u × v║.
Soluções para a tarefa
Resposta:
| u × v | = 2√3
Explicação passo-a-passo:
Você pode resolver de varias formas esse. O jeito mais fácil (que eu pensei) é usando as propriedades do produto vetorial. Eu vou detalhar porque elas são geralmente ignoradas. O produto vetorial, assim como o escalar, não é chamado de produto atoa. Ele tem as propriedades distributivas:
(u + v) × w = (u × w) + (v × w) ( I )
u × (v + w) = (u × v) + (u × w) ( II )
Não é comutativo (isso quer dizer que a ordem importa), mas vale que
u × v = - (v × u) ( III )
Essa propriedade implica que u × u = - (u × u), ou seja, u × u = vetor nulo.
Você pode tirar os escalares (escalares = números reais) "pra fora":
λ(u × v) = (λu)× v = u × (λv) ( IV )
Ai voltando ao problema, temos
u = a + b
v = a - b
Logo
u × v = (a+b)×(a-b)
Usando as propriedades ( I ) e ( II )
u × v = (a×a) + (b×a) + (a×(-b)) + (b×(-b))
Usando a propriedade ( IV ) podemos tirar o sinal menos "pra fora"
u × v = (a×a) + (b×a) - (a×b) - (b×b)
Usando ( III ) temos a×a = b×b = 0
u × v = (b×a) - (a×b)
Usando ( III ) novamente
u × v = 2(b×a)
Logo | u×v | = 2 | b×a |
Mas podemos calcular | b×a | pela fórmula
| b×a | = |b| |a| sen θ
onde θ é o ângulo entre a e b. Logo
| b × a | = 1*2*sen(π/3) = √3
Portanto
| u × v | = 2√3
Obs.: O produto escalar também tem as propriedades ( I ), ( II ) e ( IV ), que ajudam muito nesse tipo de problema. O conjunto dessas 3 propriedads é chamado de bilinearidade. Elas dizem intuitivamente que a operação produto escalar e produto vetorial se comportam "como um produto"