Question

Verique quais os intervalos reais em que a função f(x) = |x² - 4| é diferenciável. Use a definição de derivada para calcular f'(x)

Answer 1

Antes de tudo, vamos estudar o sinal de x² - 4

$x^{2}-4\ge0~~\leftrightarrow~~x^{2}\ge4~~\therefore~~\boxed{\boxed{|x|\ge2}}\\\\x^{2}-4~\textless~0~~\leftrightarow~~x^{2}~\textless~4~~\therefore~~\boxed{\boxed{|x|~\textless~2}}$

O módulo de x é maior ou igual a 2 se x ≥ 2 ou x ≤ -2
O módulo de x é menor que 2 se - 2 < x < 2

Portanto, por definição de módulo

$f(x)=\begin{cases}~~~x^{2}-4,~~~se~x\le-2~ou~x\ge2\\-(x^{2}-4),~~~se~-2~\textless~x~\textless~2\end{cases}$

Aparentemente, teremos problemas em encontrar a derivada de f nos pontos onde x = 2 e x = - 2, pois há mudança na forma da função nesses pontos (x² - 4 troca de sinal)

Outro indício da derivada apresentar problemas nos pontos em questão é saber que a derivada da função (usando as propriedades) é

$f'(x)=\dfrac{x^{2}-4}{|x^{2}-4|}\cdot2x$

O denominador zera se x = 2 ou x = -2, mostrando que precisamos dar atenção especial à esses pontos. O resto dos pontos possui derivada se comportando normalmente
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Avaliando a derivada em x = - 2

$f'(-2)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(-2+h)}{h}$

Avaliando o limite a esquerda:

$\lim\limits_{h\rightarrow0^{-}}\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0^{-}}\dfrac{f(-2+h)}{h}\\\\\\\lim\limits_{h\rightarrow0^{-}}\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0^{-}}\dfrac{(-2+h)^{2}-4}{h}\\\\\\\lim\limits_{h\rightarrow0^{-}}\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0^{-}}\dfrac{4-4h+h^{2}-4}{h}\\\\\\\lim\limits_{h\rightarrow0^{-}}\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0^{-}}\dfrac{-4h+h^{2}}{h}$

Como h ≠ 0, podemos dividir tudo por h

$\lim\limits_{h\rightarrow0^{-}}\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0^{-}}(-4+h)=-4$

Avaliando o limite a direita:

$\lim\limits_{h\rightarrow0^{+}}\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0^{+}}\dfrac{f(-2+h)}{h}\\\\\\\lim\limits_{h\rightarrow0^{+}}\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0^{+}}\dfrac{-([-2+h]^{2}-4)}{h}\\\\\\\lim\limits_{h\rightarrow0^{+}}\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0^{+}}\dfrac{-(4-4h+h^{2}-4)}{h}\\\\\\\lim\limits_{h\rightarrow0^{+}}\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0^{+}}\dfrac{-(-4h+h^{2})}{h}$

$\lim\limits_{h\rightarrow0^{+}}\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0^{+}}\dfrac{4h-h^{2}}{h}\\\\\\\lim\limits_{h\rightarrow0^{+}}\dfrac{f(-2+h)-f(-2)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow0^{+}}(4-h)=4$

Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe, consequentemente, a derivada não existe nesse ponto
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Da mesma forma, vemos que f'(2) não existe, pois o limite à esquerda é -4 e o limite a direita é 4. Já que os limites laterais são diferentes, temos, novamente, que a derivada não existe nesse ponto

Os outros pontos não são problemáticos e admitem derivada, logo, o intervalo onde a função é diferenciável é 

$(-\infty,-2)\cup(-2,2)\cup(2,+\infty)=\{x\in\mathbb{R}:|x|\neq2\}$

Achando a derivada no resto dos pontos:

Se |x| ≠ 2, então

$f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}$

Se |x| > 2:

$f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{[(x+h)^{2}-4]-(x^{2}-4)}{h}\\\\\\f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{x^{2}+2xh+h^{2}-4-x^{2}+4}{h}\\\\\\f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{2xh+h^{2}}{h}\\\\\\f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}(2x+h)\\\\\\\boxed{\boxed{f'(x)=2x}}$

Se |x| < 2:

$f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}\\\\\\f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{-[(x+h)^{2}-4]-[-(x^{2}-4)]}{h}\\\\\\f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{-(x^{2}+2xh+h^{2}-4)+(x^{2}-4)}{h}\\\\\\f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{-x^{2}-2xh-h^{2}+4+x^{2}-4}{h}\\\\\\f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}\dfrac{-2xh-h^{2}}{h}\\\\\\f'(x)=\lim\limits_{h\rightarrow0}(-2x-h)=-2x$