Question

Verifique, utilizando o teste da comparação,se a série em anexo é convergente ou divergente

Answer 1

Queremos utilizar o teste da comparação para determinar a natureza da série:

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n,$

onde $a_n = \dfrac{5}{n^4+1}$.

Começamos por notar que, para qualquer número $n \in \{0, 1, 2, \dots\}$, temos:

$n^4 + 1 > n^4.$

Portanto, invertendo a desigualdade, temos:

$\dfrac{1}{n^4 + 1} < \dfrac{1}{n^4},$[/tex]

ou seja:

$a_n < b_n.$

Notamos agora que a série:

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty b_n$

é convergente, uma vez que é uma série-$p$ de expoente maior do que $1$.

Uma vez que $a_n, b_n > 0$, o critério da comparação permite concluir que se a série:

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty b_n$

converge, então a série:

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty a_n$

converge também.

Concluímos assim que a série:

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty \dfrac{5}{n^4+1}$

é convergente.