Question

Verifique se y = 2 + C1.e^(2x) . cos3x + C2.e^(2x).sex3x é solução da equação diferencial y' ' - 4y'+13y = 0

Answer 1

Resposta: verificando, conclui-se que $y=2+C_1e^{2x}cos3x+C_2e^{2x}sen3x$ não é uma solução válida.

Para saber se esse valor de y é verdadeiro, substitua-o na eq. diferencial:

$y''-4y'+13y=0$$\footnotesize(2+C_1e^{2x}cos3x+C_2e^{2x}sen3x)''-4(2+C_1e^{2x}cos3x+C_2e^{2x}sen3x)'+13(2+C_1e^{2x}cos3x+C_2e^{2x}sen3x)=0$⠀

Vamos fazer por partes já que a equação ficou muito grande. Calculando a primeira derivada de y:

$(2+C_1e^{2x}cos3x+C_2e^{2x}sen3x)'$

$(2)'+C_1(e^{2x}cos3x)'+C_2(e^{2x}sen3x)'$

$0+C_1[(e^{2x})'cos3x+(cos3x)'e^{2x}]+C_2[(e^{2x})'sen3x+(sen3x)'e^{2x}]$

$C_1[e^{2x}(2x)'cos3x-3sen3x\,e^{2x}]+C_2[e^{2x}(2x)'sen3x+3cos3x\,e^{2x}]$

$C_1(2e^{2x}cos3x-3e^{2x}sen3x)+C_2(2e^{2x}sen3x+3e^{2x}cos3x)$

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Agora, calculando a segunda derivada de y:

$(2+C_1e^{2x}cos3x+C_2e^{2x}sen3x)''$

$[C_1(2e^{2x}cos3x-3e^{2x}sen3x)+C_2(2e^{2x}sen3x+3e^{2x}cos3x)]'$

$[C_1(2e^{2x}cos3x-3e^{2x}sen3x)]'+[C_2(2e^{2x}sen3x+3e^{2x}cos3x)]'$

$C_1[(2e^{2x}cos3x)'-(3e^{2x}sen3x)']+C_2[(2e^{2x}sen3x)'+(3e^{2x}cos3x)']$

$C_1[2(e^{2x}cos3x)'-3(e^{2x}sen3x)']+C_2[2(e^{2x}sen3x)'+3(e^{2x}cos3x)']$

$\begin{cases}C_1[2(e^{2x}cos3x)'-3(e^{2x}sen3x)']=C_1(-\,5e^{2x}cos3x-12e^{2x}sen3x)\\C_2[2(e^{2x}sen3x)'+3(e^{2x}cos3x)']=C_2(-\,5e^{2x}sen3x+12e^{2x}cos3x)\end{cases}$

$C_1(-\,5e^{2x}cos3x-12e^{2x}sen3x)+C_2(-\,5e^{2x}sen3x+12e^{2x}cos3x)$

Dica: algumas derivadas aqui já foram calculadas antes, então use-as para facilitar os cálculos.

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Para facilitar e não confundir, vamos fazer $a=e^{2x}cos3x$ e $b=e^{2x}sen3x$, assim:

$\begin{cases}y''=C_1(-\,5a-12b)+C_2(-\,5b+12a)\\-\,4y'=-\,4[C_1(2a-3b)+C_2(2b+3a)]\\13y=13(2+C_1a+C_2b)\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}y''=-\,5C_1a-12C_1b-5C_2b+12C_2a\\-\,4y'=-\,8C_1a+12C_1b-8C_2b-12C_2a\\13y=26+13C_1a+13C_2b\end{cases}$

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Desse modo, tem-se:

$y''-4y'+13y=0$

$-\,5C_1a-12C_1b-5C_2b+12C_2a-8C_1a+12C_1b-8C_2b-12C_2a+26+13C_1a+13C_2b=0$

$C_1a(-\,5-8+13)+C_1b(-\,12+12)+C_2b(-\,5-8+13)+C_2a(12-12)+26=0$

$C_1a(0)+C_1b(0)+C_2b(0)+C_2a(0)+26=0$

$0+0+0+0+26=0$

$26\neq0$

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(Na terceira linha foi colocado os fatores comuns em evidência).

Como a igualdade é falsa, podemos afirmar que o valor dado a y NÃO é solução.

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Bons estudos e um forte abraço. — lordCzarnian9635.