Question

Verifique se x² + cy²= 1

onde c é uma constante arbitrária diferente de zero , é uma
família de soluções implícitas com um parâmetro para a equação
dy/dx = xy/x² - 1





e represente
em gráfico várias das curvas de seleção usando os mesmos eixos coordenadas.

Answer 1

a)

dy/dx = xy/(x² - 1)

(1/y) * dy = x/(x²-1) dx

∫ (1/y) * dy =∫  x/(x²-1) dx      ...Fazendo u=(x²-1)   du=2xdx

∫ (1/y) * dy =∫  x/u du/(2x)

∫ (1/y) * dy =(1/2) * ∫  1/u du

2*∫ (1/y) * dy = ∫  1/u du

2*ln(y)= ln (u)  + c'   ...c' é uma constante

2*ln(y)= ln (u)  + c'   ...Como u =x²-1

2*ln(y)= ln (x²-1)  +ln c''     ...fazendo c'=ln c'' (continua sendo uma constante)

ln(y²)= ln c''(x²-1) 

y²=c''(x²-1)     
 
 (1/c'')*y²=(x²-1)                -k=1/c''   ....-k é uma constante

-ky²=(x²-1)  

x²+ky²=1   .........  ok  x² + cy²= 1


b)  é a imagem