Question

Verifique se são coplanares os vetores
u= (1,1,2)
v= (3,1,-1)
w= (0,2,1)

Answer 1

Resposta:

Os vetores , u , v e w não são complanares.

Explicação passo a passo:

Existe uma maneira prática de descobrir se três vetores são ou não

complanares.

Monte uma matriz com as coordenadas desses vetores.

Se o determinante da matriz for zero , eles são complanares.

Caso contrário não são.

Para cálculo do determinante vou usar o Método de Sarrus , acrescentando

ao lado esquerdo da matriz as duas primeiras colunas da mesma

$\left[\begin{array}{ccc}1&1&2\\3&1&-1\\0&2&1\end{array}\right]$

Cálculo do determinante

|   1     1      2  |   1     1  

|   3    1    - 1   |   3    1

|   0   2      1   |   0   2

Vou de seguida apenas marcar as diagonais uma a uma, para cada cálculo

 

|   1   º    º   |   º   º  

|   º   1    º   |   º   º

|   º   º    1   |   º   º

Det = ( 1 * 1 * 1 ) + ...

|   º   1     º    |   º   º  

|   º   º   - 1    |   º   º

|   º   º     º    |   0   º

Det = ( 1 * 1 * 1 ) + ( 1 * ( - 1) * 0 ) + ...

|   º   º     2   |   º     º  

|   º   º     º    |  3     º

|   º   º     º    |   º     2

Det = ( 1 * 1 * 1 ) + ( 1 * ( - 1) * 0 ) + ( 2 * 3 * 2 ) - ...

|   º   º     2     |   º     º  

|   º   1     º      |   º     º

|  0   º     º      |   º     º

Det = ( 1 * 1 * 1 ) + ( 1 * ( - 1) * 0 ) + ( 2 * 3 * 2 ) - ( 2 * 1 * 0 ) - ...

|   º   º     º     |   1     º  

|   º   º    - 1    |   º     º

|  º   2     º     |   º     º

Det = ( 1 * 1 * 1 ) + ( 1 * ( - 1) * 0 ) + ( 2 * 3 * 2 ) - ( 2 * 1 * 0 ) - ( 1 * ( - 1 ) * 2 ) - ...

|   º    º      º     |   º     1  

|   º    º      º    |   3     º

|  º     º       1    |   º     º

Det = ( 1 * 1 * 1 ) + ( 1 * ( - 1) * 0 ) + ( 2 * 3 * 2 ) - ( 2 * 1 * 0 ) - ( 1 * ( - 1 ) * 2 ) -

- ( 1 * 3 * 1 )

Det = 1 + 0 + 12 - 0 + 2 - 3

      = 1 + 12 + 2 - 3

      = 15 - 3

      = 12    

Como o determinante  dá diferente de zero, os vetores não são

complanares .

Bons estudos.

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( * ) multiplicação    

( º ) sinal para indicar que os valores nestes pontos não entram em cada

cálculo parcial.

Answer 2

✅ Depois de ter realizado todos os cálculos, concluímos que os referidos vetores:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf N\tilde{a}o\:s\tilde{a}o\:Coplanares\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os vetores:

     $\Large\begin{cases}\vec{u} = (1, 1, 2)\\\vec{v} = (3, 1, -1)\\\vec{w} = (0, 2, 1) \end{cases}$

Dizemos que três vetores em R³ são coplanares se, e somente se, o produto misto entre estes vetores for igual a "0".

Calculando o produto misto entre os referidos vetores, temos:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v}\wedge\vec{w} = \begin{vmatrix}1 & 1 & 2\\3 & 1 &-1\\0 & 2 & 1 \end{vmatrix}\begin{matrix} 1 & 1\\3 & 1\\0 & 2\end{matrix} \end{gathered}$

        $\large\displaystyle\begin{gathered}= 1\cdot1\cdot1 + 1\cdot(-1)\cdot0 + 2\cdot3\cdot2 - 1\cdot3\cdot1 - 1\cdot(-1)\cdot2 - 2\cdot1\cdot0 \end{gathered}$

        $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 1 - 0 + 12 - 3 + 2 - 0 \end{gathered}$

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 12 \end{gathered}$

Portanto, o produto misto é:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered}\vec{u}\cdot\vec{v}\wedge\vec{w} = 12 \end{gathered}$

✅ Como o produto misto é diferente de "0", então os vetores:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered}N\tilde{a}o\:s\tilde{a}o\:Coplanares \end{gathered}$

 

Saiba mais:

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Solução gráfica: