Matemática, perguntado por sharlansouza, 8 meses atrás

Verifique se são coplanares os vetores abaixo: u=(1,1,2) v=(3,3,-1) w=(0,2,1) Assinale a ALTERNATIVA CORRETA A) sim, os vetores são coplanares B) os vetores não são coplanares C) depende da posição do vetor w D) depende da posição do vetor u E) depende da posição do vetor v

Soluções para a tarefa

Respondido por solkarped

✅ Após resolver todos os cálculos concluímos que os referidos vetores:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf N\tilde{a}o\:s\tilde{a}o\:coplanares\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Portanto, a opção correta é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf Letra\:B\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os vetores:

$\Large\begin{cases} \vec{u} = (1, 1, 2)\\ \vec{v} = (3, 3, -1)\\ \vec{w} = (0, 2, 1)\end{cases}$

Se estes vetores pertencem ao espaço vetorial de três dimensões, ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \vec{u},\:\vec{v}\:\:e\:\:\vec{w}\in V^{3}\end{gathered}$}$

Então, dizemos que estes vetores são coplanares - nesta ordem - se, e somente se, o produto misto entre eles for igual a "0", ou seja:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\vec{u}\cdot(\vec{v}\wedge\vec{w}) = 0 \end{gathered}$}$

Como sabemos que o dispositivo prático para calcular o produto misto é o determinante da matriz formada pelas coordenadas dos vetores e sabendo que a matriz "M" formada por estas coordenadas é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}M = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2\\ 3 & 3 & -1\\ 0 & 2 & 1\end{bmatrix}\end{gathered}$}$

Então:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\det M = 0 \end{gathered}$}$

Calculando o determinante, temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\det M = \begin{vmatrix}1 & 1 & 2\\ 3 & 3 & -1\\ 0 & 2 & 1\end{vmatrix}\begin{matrix}1 & 1\\ 3 & 3\\ 0 & 2\end{matrix} \end{gathered}$}$

$\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}= 1\cdot3\cdot1 + 1\cdot(-1)\cdot0 + 2\cdot3\cdot2 - 1\cdot3\cdot1 - 1\cdot(-1)\cdot2 - 2\cdot3\cdot0\end{gathered}$}$