Question

VERIFIQUE SE OS PONTOS S (4.2). T (-3,-1). E U(-5, 0) SÃO COLINEARES. CASO NÃO SEJAM DETERMINE A AREA DO TRIANGULO FORMADO POR ESTES PONTOS​

Answer 1

✅ Após desenvolver os cálculos, percebemos que os pontos dados não são colineares. Neste caso, os pontos forma um triângulo cuja a medida da área é:

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf A_{\triangle} = 6,5\:u\cdot a\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os pontos:

                 $\Large\begin{cases} S(4, 2)\\T(-3, -1)\\U(-5, 0)\end{cases}$

Três pontos são colineares se, e somente se, eles pertencerem a uma mesma reta.

Para sabermos se três pontos são colineares, devemos calcular o determinante da matriz "M" formada pelas coordenadas destes pontos.

Neste caso a matriz "M" é:

         $\Large\displaystyle\begin{gathered}M = \begin{bmatrix}4 & 2 & 1\\ -3 & -1 & 1\\-5 & 0 & 1\end{bmatrix}\end{gathered}$

Calculando o determinante de "M":

       $\Large\displaystyle\begin{gathered} \det M = \begin{vmatrix}4 & 2 & 1\\-3 & -1 & 1\\-5 & 0 & 1\end{vmatrix}\begin{matrix}4 & 2\\-3 & -1\\-5 & 0 \end{matrix}\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered}= -4 - 10 - 0 + 6 - 0 - 5 \end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} = -13\end{gathered}$

Então, temos:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \det M = -13\end{gathered}$

Se:

    $\Large\displaystyle\begin{gathered} \det M \neq 0\Longleftrightarrow S,\:T\:e\:U\:n\tilde{a}o\:s\tilde{a}o\:Colineares\end{gathered}$

Desta forma os referidos pontos formam os vértices de um triângulo.

Para calcularmos a área "A" deste triângulo basta calcularmos a metade do módulo do determinante, ou seja.

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{\triangle} = \frac{|\det M|}{2}\end{gathered}$

Então, temos:

     $\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{\triangle} = \frac{|-13|}{2} = \frac{13}{2} = 6,5\:u\cdot a\end{gathered}$

Portanto, a área do referido triângulo é:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered} A_{\triangle} = 6,5\:u \cdot a\end{gathered}$

OBS:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} u\cdot a = Unidade\:de\:\acute{a}rea\end{gathered}$

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Solução gráfica: