Question

Verifique se os pontos dados a seguir são colineares, isto é, pertencem a uma
mesma reta:
(a) A = (5; 1;-3), B = (0; 3; 4) e C = (0; 3;-5);
(b) A = (-1; 1; 3), B = (4; 2;-3) e C = (14; 4;-15);

Answer 1

Resposta:

A não é e B é.

Explicação passo-a-passo:

a) O vetor AB = B-A = (-5, 2, 7)

O vetor AC = C - A = (-5, 2, -2)

-5/-5 = 2/2 ≠-7/2 ---> não estão alinhados

b) O vetor AB = B-A = (5, 1, -6)

O vetor AC = C - A = (15, 3, -18 )

5/15 = 1/3 = -6/-18 --> estão alinhados.

A proporcionalidade deixa evidenciado que são colineares.

Answer 2

Dados os pontos A, B e C, temos que eles:

a) não são colineares.

b) são colineares.

Pontos colineares

Três ou mais pontos são colineares quando pertencem à mesma reta. Para verificar se três pontos A(xA, yA, zA), B(xB, yB, zB) e C(xC, yC, zC) são colineares, devemos calcular o seguinte determinante:

$\left|\begin{array}{ccc}xA&yA&zA\\xB&yB&zB\\xC&yC&zC\end{array}\right|$

Se o determinante for igual a zero, os pontos são colineares.

a) Substituindo as coordenadas dos pontos:

$\left|\begin{array}{ccc}5&1&-3\\0&3&4\\0&3&-5\end{array}\right|$

det = 5·3·(-5) + 1·4·0 + (-3)·0·3 - 0·3·(-3) - 3·4·5 - (-5)·0·1

det = -75 + 0 + 0 - 0 - 60 - 0

det = -135 ≠ 0

Os pontos não são colineares.

b) Substituindo as coordenadas dos pontos:

$\left|\begin{array}{ccc}-1&1&3\\4&2&-3\\14&4&-15\end{array}\right|$

det = -1·2·(-15) + 1·(-3)·14 + 3·4·4 - 14·2·3 - 4·(-3)·(-1) - (-15)·4·1

det = 30 - 42 + 48 - 84 - 12 + 60

det = 0

Os pontos são colineares.

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