Question

verifique se os pontos a,bec sao colineares nos seguintes casos ;a)a(2,4),b(3,7)e c (5,13) b)a(3,8),b)3,4) e c (3,-1) c)a(4,2) b(4,7) e c(1,3) d)a(5,1),b(3,3)e c(0,4)

Answer 1

Para que os pontos a, b e c sejam colineares o determinante abaixo tem que ser igual a zero.
a) a(2,4), b(3,7) e c(5,13)
$\left[\begin{array}{ccc}2&4&1\\3&7&1\\5&13&1\end{array}\right] =14+39+20-35-12-26=0$
Os pontos a, b e c são colineares.

b) a(3,8), b)(3,4) e c(3,-1) 
$\left[\begin{array}{ccc}3&8&1\\3&4&1\\3&-1&1\end{array}\right] =12+24-3-12-24+3=0$
Os pontos a, b e c são colineares.

c) a(4,2), b(4,7) e c(1,3)
$\left[\begin{array}{ccc}4&2&1\\4&7&1\\1&3&1\end{array}\right]=28+12+2-7-8-12=15$
Os pontos a, b e c não são colineares.

d) a(5,1), b(3,3) e c(0,4)
$\left[\begin{array}{ccc}5&1&1\\3&3&1\\0&4&1\end{array}\right]=15+0+12-0-3-20=4$
Os pontos a, b e c não são colineares.

Answer 2

Os pontos A = (2,4), B = (3,7) e C = (5,13) são colineares; Os pontos A = (3,8), B = (3,4) e C = (3,-1) são colineares; Os pontos A = (4,2), B = (4,7) e C = (1,3) não são colineares; Os pontos A = (5,1), B = (3,3) e C = (0,4) não são colineares.

Sabemos que por dois pontos passa somente uma única reta. Então, vamos determinar as equações das retas que passam pelos pontos A e B dados em cada item.

Depois, vamos verificar se o ponto C pertence ou não à reta.

Vale lembrar que a equação da reta é igual a y = ax + b.

a) Dados os pontos A = (2,4) e B = (3,7), temos que:

{2a + b = 4

{3a + b = 7.

Da primeira equação, podemos dizer que b = 4 - 2a.

Substituindo o valor de b na segunda equação:

3a + 4 - 2a = 7

a = 3.

Consequentemente:

b = 4 - 2.3

b = 4 - 6

b = -2.

Logo, a equação da reta é y = 3x - 2.

Substituindo o ponto C = (5,13), obtemos:

13 = 3.5 - 2

13 = 15 - 2

13 = 13.

Portanto, os pontos são colineares.

b) Dados os pontos A = (3,8), B = (3,4) e C = (3,-1), observe que as coordenadas x são iguais a 3.

Sendo assim, podemos afirmar que eles são colineares e a equação da reta é x = 3.

c) Note que os pontos A = (4,2) e B = (4,7) possuem coordenada x iguais a 4. Já o ponto C = (1,3) não possui.

Então, os três pontos não são colineares.

d) Dados os pontos A = (5,1) e B = (3,3), temos que:

{5a + b = 1

{3a + b = 3.

Da primeira equação, podemos dizer que b = 1 - 5a.

Substituindo o valor de b na segunda equação:

3a + 1 - 5a = 3

-2a = 2

a = -1.

Consequentemente:

b = 1 - 5.(-1)

b = 1 + 5

b = 6.

Ou seja, a equação da reta é y = -x + 6.

Substituindo o ponto C = (0,4), obtemos:

4 = -0 + 6

4 = 6.

Isso não é verdade. Logo, os pontos não são colineares.

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