Matemática, perguntado por joyceee1516, 5 meses atrás

Verifique se os pontos A(2, 3), B(4, 6) e C(-4,-6) estão alinhados.​

Soluções para a tarefa

Respondido por Kin07
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De acordo com os cálculos e com os dados do enunciado, podemos afirma que o os pontos estão alinhados.

Três pontos estão alinhados se, e somente se, pertencerem à mesma reta. ( Vide a figura em anexo ).

Pelo teorema de Tales:

\Large \displaystyle \text {$  \mathsf{ \dfrac{AB}{AC}   = \dfrac{A_1 B_1}{A_1 C_1}  \Rightarrow \dfrac{AB}{AC}  = \dfrac{x_2 -x_1}{x_3 - x_1}  }  \quad (\ I \ ) $ }

\Large \displaystyle \text {$  \mathsf{ \dfrac{AB}{AC}   = \dfrac{A_2 B_2}{A_2 C_2}  \Rightarrow \dfrac{AB}{AC}  = \dfrac{y_2 - y_1}{y_3 - y_1}  }  \quad (\ I\: I \ ) $ }

Comparando ( I ) e ( I I ), temos:

\Large \displaystyle \text {$  \mathsf{ \dfrac{x_2 -x_1}{x_3 - x_1}   = \dfrac{y_2 - y_1}{y_3- y_1} \Rightarrow  \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}   = \dfrac{y_3 - y_1}{x_3-  x_1} } $ }

\Large \displaystyle \text {$  \mathsf{  \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}  - \dfrac{y_3 - y_1}{x_3-  x_1} } =  0 $ }

\Large \displaystyle \text {$  \mathsf{ (x_3 -x_1) \cdot ( y_2 - y_1) - (x_2 -x_1) \cdot ( y_3 - y_1) = 0   } $ }

\Large \displaystyle \text {$  \mathsf{ x_1 \cdot y_2 -x_1 \cdot y_3 +x_2 \cdot y_3 -x_2 \cdot y_1 + x_3 \cdot y_1  -x_3 \cdot y_2  = 0    } $ }

Se três pontos \large \boldsymbol{ \textstyle \sf A ( x_1, y_1 ) }, \large \boldsymbol{ \textstyle \sf B ( x_2,  y_2 ) } e \large \boldsymbol{ \textstyle \sf C ( x_3, y_3 ) } estão alinhados, então:

\Large  \displaystyle \sf \begin{array}{ |r r r |}  \sf x_1 & \sf y_1 & \sf 1  \\ \sf x_2 & \sf y_2 & \sf 1  \\ \sf x_3 & \sf y_3 & \sf 1 \end{array} \quad  \Large \displaystyle \text {$  \mathsf{  =0  } $}

Dados fornecidos pelo enunciado:

\Large \displaystyle \sf   \begin{cases} \sf A ( 2,3) \\  \sf B(4, 6) \\  \sf C (-4, - 6 )    \end{cases}

Para verificar se estão alinhados, basta usar a regra do determinantes.

\Large  \displaystyle \sf \begin{array}{ |r r r |}  \sf 2& \sf 3& \sf 1  \\ \sf 4 & \sf 6 & \sf 1  \\ \sf -4 & \sf -6 & \sf 1 \end{array} \quad  \Large \displaystyle \text {$  \mathsf{  =0  } $ }

Aplicando a propriedade de determinantes, temos:

Se duas filas de uma matriz são iguais, então seu determinante é nulo.

Pela propriedade do determinante  os pontos estão alinhados.

Pelo método Sarrus:

\Large \sf \displaystyle \sf \begin{array}{ |r r r | r r |} \sf 2 & \sf 3 & \sf 1 & \sf 2 & \sf 3 \\ \sf 4 & \sf 6 & \sf 1 & \sf 4 &\sf 6 \\ \sf-4 & \sf -6 & \sf 1 & \sf -4 &\sf -6\end{array}  \quad \Large \displaystyle \text {$  \mathsf{ = 0   } $ }

Diagonal principal:

\Large \displaystyle \text {$  \mathsf{D_P =  + 12 - 12 - 24=  - 24   } $ }

Diagonal segundaria:

\Large \displaystyle \text {$  \mathsf{D_P =  -24 - 12 + 12  =  - 24   } $ }

Diagonal é igual a diagonal principal menos a diagonal secundária

Somatório diagonal principal – Somatório diagonal secundária

\Large \displaystyle \text {$  \mathsf{ D = D_P - D_S    } $ }

\Large \displaystyle \text {$  \mathsf{ D = -24 -  (-24)     } $ }

\Large \displaystyle \text {$  \mathsf{ D = -24 + 24    } $ }

\Large \boxed{ \boxed{  \boldsymbol{  \displaystyle  \text  {$ \sf D = 0   $   }   }} }

Pelo resultado do determinante verificamos que os pontos estão alinhados.

Mais conhecimento acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/20600656

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Anexos:

Kin07: Muito obrigado por ter escolhido a melhor resposta.
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