Question

verifique se os pontos A (1,2) B (5,0) E C(2,3) formam um triangulo.

Answer 1

Para que três pontos $A\left(x_{A},y_{A} \right)$, $B\left(x_{B},y_{B} \right)$ e $C\left(x_{C},y_{C} \right)$ formem um triângulo, eles não podem ser colineares, ou seja, não pode existir uma reta que contenha os três pontos simultaneamente. A condição para estes três pontos não sejam colineares é

$\det \left[\begin{array}{ccc} x_{A} & y_{A} & 1\\ x_{B} & y_{B} & 1\\ x_{C} & y_{C} & 1 \end{array}\right] \neq 0\,\,\,\text{(i)}$

Logo, devemos verificar se a condição $\text{(i)}$ acima é verdadeira para os pontos $A\left(1,2 \right)$, $B\left(5,0 \right)$ e $C\left(2,3 \right)$. Substituindo as coordenadas dos pontos no determinante acima, e resolvendo pela Regra de Sarrus, temos

$\det \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1\\ 5 & 0 & 1\\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right]$

$\det \left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1\\ 5 & 0 & 1\\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right]= \begin{array}{cccccc} &1 \cdot 0 \cdot 1 & + & 2 \cdot 1 \cdot 2 & + & 1 \cdot 5 \cdot 3\\ -&2 \cdot 0 \cdot 1 & - & 3 \cdot 1 \cdot 1 & - & 1 \cdot 5 \cdot 2 \\ \end{array}$

$\det \left[\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 1\\ 5 & 0 & 1\\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right]= \begin{array}{cccccc} & 0 & + & 4 & + & 15\\ -& 0 & - & 3 & - & 10 \\ \end{array}$

$\det \left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1\\ 5 & 0 & 1\\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right]=6 \neq 0$

Como a condição $\text{(i)}$ é verdadeira, então os pontos $A\left(1,2 \right)$, $B\left(5,0 \right)$ e $C\left(2,3 \right)$ não são colineares, e portanto formam sim um $\Delta$.