Question

Verifique se os pontos A(0,1) B (1,0) C(2,3) estão alinhados?

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Os pontos de coordenadas $(x_0,~y_0),~(x_1,~y_1)$ e $(x_2,~y_2)$ estão alinhados se, e somente se, vale a seguinte igualdade:

$\begin{vmatrix}x_0&y_0&1\\x_1&y_1&1\\x_2&y_2&1\\\end{vmatrix}=0$

Substituindo as coordenadas dos pontos $A,~B$ e $C$, temos:

$\begin{vmatrix}0&1&1\\1&0&1\\2&3&1\\\end{vmatrix}=0$

Para calcularmos este determinante, utilizamos a Regra de Sarrus: consiste em replicar as duas primeiras colunas à direita da matriz e calcular a diferença entre a soma dos produtos dos elementos das diagonais que partem da esquerda para direita e a soma dos produtos dos elementos das diagonais que partem da direita para esquerda.

Replicando as colunas, temos:

$\begin{vmatrix}0&1&1\\1&0&1\\2&3&1\\\end{vmatrix}\begin{matrix}0&1\\1&0\\2&3\\\end{matrix}~=0$

Aplique a Regra de Sarrus

$0\cdot0\cdot1+1\cdot1\cdot2+1\cdot1\cdot 3-(1\cdot1\cdot1+0\cdot1\cdot3+1\cdot0\cdot2)=0$

Multiplique e some os valores à esquerda da igualdade

$0+2+3-(1+0+0)=0\\\\\\ 4=0$

Como podemos ver, a igualdade é falsa e conclui-se que os pontos $A,~B$ e $C$ não estão alinhados.  $\square$