Question

Verifique se os números complexos i, 1, 3, 1 + 2i, são raízes de p(x)= x3-5x2+11x-15

Answer 1

Somando-se os coeficientes da equação obtemos 1 - 5 + 11 - 15 = -9

Logo excluímos a raiz igual a 1

Vamos verificar se 3 é raiz da equação utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini:

3   1   -5   11   -15
     1   -2    5      0

Logo verificamos que 3 é uma das raízes e as outras duas raízes vem de:

$x^{2} -2x+5=0\\ \\ \Delta=(-2)^2-4.1.5=4-20=-16\\ \\ x=\frac{2\pm\sqrt{-16}}{2}=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm2i$

Answer 2

Podemos perceber que após a verificação as raízes são os valores de 3 e 1 + 2i

Equação de terceiro grau

São representadas pelas equações algébricas na forma de : ax³ + bx² + cx + d = 0, com a ≠ 0 e raízes x1, x2 e x3

Como resolvemos ?

Primeiro: Entendendo a questão

• Temos as possíveis raízes para a equação p(x)= x³-5x²+11x-15

• Raízes: i, 1, 3, 1 + 2i

• Iremos substituir os valores da raiz na equação

• Para ser raiz, o valor tem que ser igual a zero

Segundo: Testando os casos

• Para valor igual a i

$p(x)= x^{3} -5x^{2} +11x-15\\\\p(i)= (i)^{3} -5(i)^{2} +11.(i)-15\\\\p(i)= -i -5(-1) +11i-15\\\\p(i)= -i + 5 +11i -15\\\\p(i)= 10i -10\\\\10 i - 10 \neq 0$

• Para valor igual a 1

$p(x)= x^{3} -5x^{2} +11x-15\\\\p(1)= (1)^{3} -5(1)^{2} +11.(1)-15\\\\p(1)= 1 - 5 + 11 - 15\\\\p(1) = 12 - 20 \\\\P(1) = 8 \neq 0$

• Para valor igual a 3

$p(x)= x^{3} -5x^{2} +11x-15\\\\p(3)= (3)^{3} -5(3)^{2} +11.(3)-15\\\\p(3)= 27 - 5.(9) + 33 -15\\\\p(3) = 60 - 15 - 45 \\\\p(3) = 60 - 60 \\\\p(3) = 0$

• Para valor igual a 1+2i

$p(x)= x^{3} -5x^{2} +11x-15\\\\p(1+2i)= (1+2i)^{3} -5.(1+2i)^{2} +11.(1+2i)-15\\\\\\(1+2i)^{3} = (1^{3} +6i +12i^{2} +8i^{3} )= 1 +6i -12 -8i = -2i - 11\\\\(1+2i)^{2} = 1 +4i +4i^{2} \\\\\\p(1+2i)= -2i - 11 -5.(1+4i +4i^{2}) + 11(1+2i) -15\\\\p(1+2i)= -2i - 11 -5 -20i -20i^{2} + 11+22i -15\\\\p(1+2i)= -2i - 11 -5 -20i +20 + 11+22i -15\\\\p(1+2i) = -2i -20 i +22 i - 11 -5 +20 +11 -15 \\\\p(1+2i) = -22i + 22i -11 + 11 - 20 +20\\\\p(1+2i) = 0$

Portanto, podemos perceber que após a verificação as raízes são os valores de 3 e 1 + 2i

Veja essa e outras questões sobre Equação de terceiro grau em:

https://brainly.com.br/tarefa/6204868

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