Question

Verifique se os conjuntos abaixo são base para os respectivos subespaços vetoriais

Answer 1

Resposta:

A) R²,(X1, Y1) + (X2, Y2) = (X1 + X2, Y1 + Y2)

α(X , Y) = (α²X, α²Y).

Soma.

1. Associatividade: VERDADEIRO

SEJA (X3, Z3) UM VETOR NO R2:

[(X1, Y1) + (X2, Y2)] + (X3, Z3) = (X1 + X2 + X3, Y1 + Y2 +Y3)

(X1, Y1) +[ (X2, Y2) + (X3, Z3) ]= (X1 + X2 + X3, Y1 + Y2 +Y3)

2. Elemento neutro: VERDADEIRO

(X1, Y1) + (0, 0) = (X1 + 0, Y1 + 0)

3. Inverso aditivo: VERDADEIRO

(X1, Y1) +(-X1, Y1) = (0, 0)

4. Comutatividade: VERDADEIRO

(X1, Y1) + (X2, Y2) = (X2, Y2) + (X1, Y1) = (X1 + X2, Y1 + Y2)

MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR

5. Associatividade da multiplicação por escalar: VERDADEIRA

SEJA β UM ESCALAR

α(β(X, Y) = α(β²X, β²Y) = (α²β²X, α²β²Y) = β(α(X, Y)

6. Vale O VETOR UNITÁRIO: VERDADEIRO

1(X, Y) = (1²X, 1²Y) = (X, Y)

7.Distributiva de um escalar em relação à soma de vetores: VERDADEIRO

α((X1, Y1) + (X2, Y2) ) = α(X1 + X2, Y1 + Y2) =(α²(X1+X2), α²(Y1+Y2)) =

= α²X1 + α²X2 + α²Y1 + α²Y2) = α(X2, Y2) + α(X1, Y1)

8. Distributiva da soma de escalares em relação a um vetor: VERDADEIRO

(α + β) (X1, Y1) =( α²X1, α²Y1)+ (β²X1, β²Y1)

LOGO TRATA-SE DE UM ESPAÇO VETORIAL.

B) R²,(X1, Y1) + (X2, Y2) = (X1 + X2, Y1 + Y2)

α(X , Y) = (αX, 0).

SOMA => SATISFAZ OS 4 AXIOMAS, VIDE LETRA A

MULTIPLICAÇÃO:

5. Associatividade da multiplicação por escalar: VERDADEIRA

SEJA β UM ESCALAR

α[β(X, Y)] = α[(βX, 0) = (αβX,0) = α.β(X, Y)

6. NÃO Vale O VETOR UNITÁRIO.

1(X, Y) = (1X, 1Y) = (X, Y) ≠ (X, 0)

LOGO NÃO É UM ESPAÇO VETORIAL.