Question

Verifique se o vetor (−2,1,4) pertence ao espaço gerado pelas colunas
de
= [
1 2 6
1 1 2
1 0 −2].

Answer 1

Queremos verificar se o vetor em questão pertence ao subespaço

H = <(1,1,0), (2,1,0), (6,2,-2)>

Que é o espaço gerado pelas colunas de H (a imagem da matriz dada)

Se isso ocorrer, temos que (-2,1,4) pode ser escrito como combinação linear dos vetores da base, ou seja, existem x, y e z reais tais que

$x(1,1,1)+y(2,1,0)+z(6,2,-2)=(-2,1,4)$

Podemos representar e resolver o sistema pela notação matricial:

$\left[\begin{array}{cccc}1&~~2&~~6&~-2\\1&~~1&~~2&~~~~~1\\1&~~0&-2&~~~~~4\end{array}\right]$

Resolvendo por escalonamento:

$\left[\begin{array}{cccc}1&~~2&~~6&~-2\\1&~~1&~~2&~~~~~1\\1&~~0&-2&~~~~~4\end{array}\right]~~l_{2}\leftarrow l_{2}-l_{1},~~~l_{3}\leftarrow l_{3}-l_{1}\\\\\\\left[\begin{array}{cccc}1&~~2&~~6&~-2\\0&-1&-4&~~~~~3\\0&-2&-8&~~~~~6\end{array}\right]~~l_{3}\leftarrow(-2)l_{3},~~~l_{2}\leftarrow(-1)l_{2}\\\\\\\left[\begin{array}{cccc}1&~~2&~~6&~-2\\0&~~1&~~4&~-3\\0&~~1&~~4&~-3\end{array}\right]$

Descartando a terceira linha, pois é igual a segunda:

$\left[\begin{array}{cccc}1&~~2&~~6&~-2\\0&~~1&~~4&~-3\end{array}\right]~~l_{1}\leftarrow l_{1}-2l_{2}\\\\\\\left[\begin{array}{cccc}1&~~0&-2&~~~~~4\\0&~~1&~~4&~-3\end{array}\right]$

Essa é a forma totalmente escalonada da matriz. Portanto, temos

$1x+0y-2z=4\\0x+1y+4z=-3$

Fazendo z = t, temos, pela primeira equação, que

$x=4+2t$

Pela segunda, temos

$y=-3-4t$

Portanto, a solução geral é o vetor

$(x,y,z)=(4+2t,-3-4t,t)=(4,-3,0)+(2t,-4t,t)=(4,-3)+t(2,-4,1)\\\\\boxed{\boxed{(x,y)=(4,-3,0)+span\{(2,-4,1)\}}}$

Claramente, o vetor pertence ao espaço gerado pelas colunas da matriz, já que existem infinitas soluções para o sistema

Vamos testar a solução (4,-3,0):

$4(1,1,1)-3(2,1,0)+0(6,2,-2)=(4,4,4)+(-6,-3,0)\\\\4(1,1,1)-3(2,1,0)+0(6,2,-2)=(4-6,4-3,4+0)\\\\4(1,1,1)-3(2,1,0)+0(6,2,-2)=(-2,1,4)$

Como esperávamos. Porém,

(x,y,z) = (4,-3,0) + t(2,-4,1) também é solução, para todo t real