Question

Verifique se o número 2i é raiz do polinômio p(x)= x*3 + 3x*2 + 4x + 12.

Answer 1

P(x)= x³+ 3x² + 4x + 12

P(2i)=8*i³+3*i²+4*i+12

P(2i)=-8i-3+4i+12

P(2i)=-4i+9  ≠ 0 , não é uma raiz

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Nathalia, que a resolução é simples.
Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Pede-se para saber se o número "2i" é raiz da equação abaixo:

p(x) = x³ + 3x² + 4x + 12.

ii) Agora veja isto e não esqueça mais: toda raiz zera a equação da qual ela é raiz. Então vamos na equação dada [p(x) = x³ + 3x² + 4x + 12] e vamos substituir "x" por "2i". Se após isso, encontrarmos que p(2i) = 0, então é porque "2i" é raiz da equação dada. Então vamos fazer isto:

p(2i) = (2i)³ + 3*(2i)² + 4*(2i) + 12
p(2i) = 8i³ + 3*4i² + 8i + 12 --- continuando o desenvolvimento, temos:
p(2i) = 8i³ + 12i² + 8i + 12.

Agora veja isto:

i³ = i²*i --- como i² = -1, teremos que i³ = -1*i = - i.
e
i² = - 1

Então vamos fazer essas substituições na nossa expressão [p(2i) = 8i³ + 12i² + 8i + 12]. Fazendo isso, teremos:

p(2i) = 8*(-i) + 12*(-1) + 8i + 12
p(2i) = - 8i - 12 + 8i + 12 ---- para facilitar, vamos colocar juntos os termos semelhantes. Assim:

p(2i) = - 8i+8i - 12+12 ---- note que "-8i+8i" e "-12+12" se anulam, com o que ficaremos:

p(2i) = 0 - 0 ----- como "0-0 = 0", teremos:
p(2i) = 0 <--- veja que encontramos que p(2i) = 0. Logo "2i" é, sim, raiz do polinômio dado, ou seja, temos que:

2i é raiz do polinômio dado <--- Esta é a resposta.

Observação importante: apenas pra você ter uma ideia, veja que o polinômio p(x) da sua questão tem uma raiz real igual a "-3" e tem duas raízes complexas, que são iguais aos seguintes números complexos: "-2i" e "2i". Portanto, como é óbvio, "2i" é uma raiz e foi isso o que nós encontramos na nossa resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.