Question

Verifique se o limite indicado existe, caso exista determine o seu valor:
lim (∛(x+2)+∛x)/(x+1)
x-->-1

Answer 1

Boa tarde!

O outro que resolveu, utilizou a regra de L'hopital, algo que você pode não ter visto ainda, já que envolve derivada.

Portanto, para resolver este exercício de um modo mais simples, você deve lembrar que:
$a^3 + b^3 = (a+b) (a^2 - ab +b^2)$

De modo análogo, têm-se:
$(a+b) = (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) ( \sqrt[3]{a^2} - \sqrt[3]{a} \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{b^2})$

Assim, para resolver o exercício:
$\lim_{x \to \ -1} \frac{\sqrt[3]{x+2} + \sqrt[3]{x} }{x+1}$

Multiplicando por: (o numerador e o denominador)
$( \sqrt[3]{(x+2)^2} - \sqrt[3]{x+2} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^2})$

Assim, irá ficar:
$\lim_{x \to \ -1} \frac{(x+2)+(x)}{(x+1).( \sqrt[3]{(x+2)^2} - \sqrt[3]{x+2} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^2})}$

Isso será igual a:
$\lim_{x \to \--1} \frac{2(x+1)}{(x+1).( \sqrt[3]{(x+2)^2} - \sqrt[3]{x+2} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^2})}}$

Simplificando e calculando o limite:
$\frac{2}{( \sqrt[3]{(-1+2)^2} - \sqrt[3]{-1+2} \sqrt[3]{-1} + \sqrt[3]{(-1)^2})}} = \frac{2}{3}$

Espero que você entenda agr!

Answer 2

Bom dia 
com x = -1 temos uma inderminaçao  (0/0)
vamos aplicar a regra de l Hospital
lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)
f(x) = (∛(x+2)+∛x)f'(x) = 1/(3 ((x + 2)^(1/3))^2) + 1/(3 (x^(1/3))^2)f'(-1) = 2/3 
g(x) = x + 1g'(x) = 1 
lim f(-1)/g(-1) = lim f'(-1)/g'(-1)lim = f'(-1)/g(-1) = 2/3